علاقة التكافؤ

علاقة التكافؤ
لتكن R علاقة تكافؤ على مجموعة غير خالية A ولتكن {A_a }_(a?A) جملة جميع صفوف التكافؤ بالنسبة للعلاقة R
فان {A_a }_(a?A) تجزئة للمجموعة A.
مبرهنة//اذا كانت A مجموعة غير خالية ,وكانت {A_i }_(i?I) تجزئة المجموعة A فانه يوجد علاقة تكافؤ على A بحيث ان صفوف التكافؤ بالنسبة الى هذه العلاقة هي {A_i }_(i?I) نفسها.
مثال:-
(ا) لتكن A={1,3,5,7,9} X={1,3},Y={5,7},Z={9}, حسب المبرهنة السابقة توجد علاقة تكافؤ بحيث ان صفوف التكافؤ بالنسبة الى هذه العلاقة هي التجزئة {X,Y,Z} وعلاقة التكافؤ هي :-
R=I_A?{(1,3),(3,1),(5,7),(7,5)} صفوف التكافؤ [1]=[3],[5]=[7],[9]
(2) لتكن A مجموعة الاعداد الصحيحة وان
X مجموعة الاعداد الصحيحة الزوجية.
Y مجموعة الاعداد الصحيحة الفردية .
فنلاحظ ان X,Yكلا مجموعة جزئية غير خالية من المجموعة A وان X?Y?? وايضا X?Y=A وعليه
{X,Y} تجزئة للمجموعة A .
R={(x,y)?A×A:x-yزوجي عدد} فتكون R علاقة تكافؤ على A ,وان صفوف التكافؤ هي [0],[1] حيث
[0]=X,[1]=Y
علاقة التكافؤ
لتكن R علاقة تكافؤ على مجموعة غير خالية A ولتكن {A_a }_(a?A) جملة جميع صفوف التكافؤ بالنسبة للعلاقة R
فان {A_a }_(a?A) تجزئة للمجموعة A.
مبرهنة//اذا كانت A مجموعة غير خالية ,وكانت {A_i }_(i?I) تجزئة المجموعة A فانه يوجد علاقة تكافؤ على A بحيث ان صفوف التكافؤ بالنسبة الى هذه العلاقة هي {A_i }_(i?I) نفسها.
مثال:-
(ا) لتكن A={1,3,5,7,9} X={1,3},Y={5,7},Z={9}, حسب المبرهنة السابقة توجد علاقة تكافؤ بحيث ان صفوف التكافؤ بالنسبة الى هذه العلاقة هي التجزئة {X,Y,Z} وعلاقة التكافؤ هي :-
R=I_A?{(1,3),(3,1),(5,7),(7,5)} صفوف التكافؤ [1]=[3],[5]=[7],[9]
(2) لتكن A مجموعة الاعداد الصحيحة وان
X مجموعة الاعداد الصحيحة الزوجية.
Y مجموعة الاعداد الصحيحة الفردية .
فنلاحظ ان X,Yكلا مجموعة جزئية غير خالية من المجموعة A وان X?Y?? وايضا X?Y=A وعليه
{X,Y} تجزئة للمجموعة A .
R={(x,y)?A×A:x-yزوجي عدد} فتكون R علاقة تكافؤ على A ,وان صفوف التكافؤ هي [0],[1] حيث
[0]=X,[1]=Y