صفوف التكافؤ

صفوف التكافؤ
تعريف// لتكن R علاقة تكافؤ على المجموعة الغير خالية A , وليكن a عنصرا ما في A . تسمى المجموعة التي عناصرها جميع العناصر في A والتي ترتبط مع العنصر a بالعلاقة R ب((صف تكافؤ المحتوى a)). ويرمز له بالرمز [a] او A_a.
اي ان A_a={x?A:(x,a)?R}
امثلة:
خواص صفوف التكافؤ
المبرهنة التالية توضح اهم خواص صفوف التكافؤ
مبرهنة// لتكن R علاقة تكافؤ على مجموعة غير خالية A وليكن a,b اي عنصرين في المجموعة A فان:-
(ا) a?[a]
(ب) اذا كان b?[a] فان [a]=[b].
(ج) [a]=[b] اذا وفقط اذا كان (a,b)?R.
(د) اذا كان [a]?[b]?? فان [a]=[b].
التجزئة (partition)
تعريف// لتكن {A_i }_(i?I) جملة من مجموعات جزئية غير خالية من المجموعة A فان {A_i }_(i?I) تسمى تجزئة للمجموعة A اذا حققت الشروط التالية:-
(ا)?i,j?I,A_i?A_j=??A_i=A_j
(ب) A=?_(i?I)?A_i
مثال:- لتكن A مجموعة الاعداد الصحيحة وان
X مجموعة الاعداد الصحيحة الزوجية.
Y مجموعة الاعداد الصحيحة الفردية .
فنلاحظ ان X,Yكلا مجموعة جزئية غير خالية من المجموعة A وان X?Y?? وايضا X?Y=A وعليه
{X,Y} تجزئة للمجموعة A .