الفصل الرابع بديهية باخ

مقدمة لبديهية باخ : The Axiom of Pasch
في كثير من البراهين الاقليدية ,مثل ,"المستقيم الذي يمر برأس مثلث " و " منصف زاوية في مثلث " قد افترضت بان هذه المستقيمات تقطع الضلع المقابل في المثلث . لكن على أي اساس اعتمدت هذه الفرضية ؟. لقد صاغ العالم باخ بديهيته ليس فقط على انها عبارة اعتمد عليها في البراهين , ولكن لانه ليس بالامكان برهنتها من بديهيات اقليدس المعروفة.
تعريف:
لتكن A,B,C ثلاث نقاط مختلفة ولاتقع على مستقيم واحد , ان اتحاد {A,B,C} مع القطــع A-B ,A-C,B-C يدعى مثلثا , تدعى A,B,C الرؤوس . تدعى B-C,A-B,A-C, الاضلاع.
Ax10 :"باخ"
اذا كانت A,B,C رؤوس مثلث و m هو مستقيم لايمر باي راس من هذه الرؤوس ويحتوي m على نقطة من الضلع A-B , فان m يحتوي كذلك على نقطة من الضلع B-C او A-C .
تسال :هل ان المستقيم m يقطع كل من B-C وA-C ؟.
الجواب / كلا . كما في مبرهنة 17 .
مبرهنة 17:
اذا كانت A,B,C رؤوس مثلث , أي مستقيم m يحتوي على نقطة من الضلع A-B ونقطة من الضلع A-C , فانه لايمكن ان يحتوي على نقطة من الضلع B-C .
او بعبارة اخرى : المستقيم الذي يقطع ضلعا واحدا من مثلث والذي لايمر باي راس منه , فانه يقطع ضلعا واحدا فقط من الضلعين الاخرين.
ليكن m أي مستقيم و P نقطة لاتقع على m .لتكن مجموعة تحتوي على P وكل النقاط X لاتقع على m ,بحيث ان P-X لاتحتوي على نقطة من
m
لتكن مجموعة كل النقاط Y بحيث ان P-Y تحتوي على نقطة m
فان و تدعيان جهتي المستقيم m .

وسنتناول بعض التطبيقات عليها