امثلة عن انظمة بدهية

امثلة عن انظمة بدهية منتهية (تحتوي عدد منته من العناصر )
تعتمد على النقطة والمستقيم ككلمات اولية.
اولا: المستوى الاسقاطي : Projective Plane
يتكون من مجموعة نرمز لهذه المجموعة بالرمز ? وتتضمن كلمات اولية تقنية تدعى نقاط ,يرمز لها بحروف كبيرة A,B,C ومجموعات جزئية من ? تدعى مستقيمات , يرمز لها بحروف صغيرة l,m,n,…. .
البديهيات :
Ax1 : أي نقطتين مختلفتين في ? يحتويهما مستقيم واحد فقط.
Ax2 : كل مستقيم يحتوي على ثلاث نقاط في الاقل.
Ax3 : توجد في الاقل نقطة واحدة A ويوجد في الاقل خط واحد l بحيث ان .
Ax4 : أي مستقيمين يشتركان في نقطة واحدة في الأقل.


ثانيا: المستوى التالفي : Affine Plane
يتضمن المستوى التالفي من مجموعة ? من كلمات اولية تقنية تدعى نقاط , ومجموعات جزئية من ? تدعى مستقيمات ,والتي هي ايضا تقنية.

ملاحظة: سنرمز للنقاط والمستقيمات في ? نفس الرموز المستخدمة في النظام الاسقاطي.

البديهيات
:Ax1أي نقطتين مختلفتين A,B في ? يحتويهما مستقيم واحد فقط.
Ax2 :كل مستقيم يحتوي على ثلاث نقاط في الاقل.
Ax3 :يوجد في الاقل نقطة واحدة A ومستقيم واحد l بحيث ان .
Ax4 :اذا كان l مستقيما وA نقطة بحيث ان ,فانه يوجد مستقيم واحد فقط m يحتوي A بحيث ان m=?l.