حل منظومة من المعادلات الخطية - طريقة كاوس للحذف

حل منظومات من المعادلات الخطية Solving Systems of Linear Equations
إن منظومة من المعادلات الخطية تحوي n من المعادلات و n من المجاهيل يمكن تمثيلها كما يلي:
يمكن تمثيلها باستخدام المصفوفات كالتالي:
يمكن كتابة المصفوفة A بصيغة أخرى وهي:
وذلك بإضافة عمود في نهايتها يتم تخصيصه لقيم المصفوفة B. هذه المصفوفة تسمى بالمصفوفة
الموسعة Augmented Matrix.
لحل هذه المنظومة من المعادلات والتي لها الشكل العام [A][X]=[B] توجد خطوتين رئيسيتين
هما:
1. الحذف التقدمي Forward Elimination.
نأخذ أولاً المعادلتين E1, E2 ونحذف x1 من المعادلة E2 وكما يلي:
الغرض من الحذف التقدمي هو الحصول على المصفوفة المثلثية العليا التالية:

وبعد ذلك تبدأ المرحلة التالية وهي مرحلة التعويض التراجعي لغرض الحصول على قيم xi. إن
هذه الطريقة لحل منظومة المعادلات الخطية تسمى بـ طريقة كاوس للحذف Gauss
Elimination Method .
مثال: حل منظومة المعادلات التالية باستخدام طريقة كاوس للحذف:
في البداية نستعمل المعادلة E1 لحذف المجهول x1 من المعادلات E2, E3, E4 وذلك عن طريق
القيام بالخطوات التالية:
2. التعويض التراجعي Backward Substitution
3. وبنفس الطريقة نقوم بحذف المجهول x1 من المعادلتين E3, E4، فنحصل على منظومة
4. المعادلات الجديدة التالية:
5. في هذا النظام الجديد نقوم باستخدام المعادلة E2 لحذف المجهول x2 من المعادلتين E3, E4 وكما
6. يلي:
7. وهذا ينتج عنه النظام التالي من المعادلات:
8. E3 تعطينا قيمة x3 وكالتالي:
9. بالتعويض التراجعي.
10. E4 تعطينا قيمة x4 وهي 1.
11. النظام الناتج هو في حالة الصيغة المثلثية. يمكن من خلال هذا النظام إيجاد قيم المجاهيل