حلول المعادلات غير الخطية - طريقة النقطة الصامدة

طريقة النقطة الصامدة FIXED POINT METHOD
في هذه الطريقة نكتب المعادلة f(x)=0 بالصيغة:
x=g(x)
النقطة x تسمى نقطة صامدة fixed pointللدالة g. إن أية نقطة صامدة للدالة g تعتبر جذراً للمعادلة f(x)=0. لإيجاد هذا الجذر، نجد أولاً قيمة تقريبية أولية x0 بعدها نحسب قيمة الدالة في x0 لنحصل على تقريب آخر للجذر وليكن x1 أي إن:
x1 = g(x0)
x2 = g(x1)
x3 = g(x2)
?
xn+1 = g(xn)
إن طريقة النقطة الصامدة تعتبر سهلة من الناحية النظرية ومن الناحية الهندسية. الدالة g(x) سوف تمتلك نقطة صامدة في الفترة [a, b] عندما يتقاطع منحني الدالة مع المستقيم y=x. على سبيل المثال نأخذ بنظر الاعتبار الدالة:
f(x) = x - cos(x)
x = cos(x)
يلاحظ من الجدول بأن القيم التكرارية التي تتضمن الدوال g1، g2 و g3 تتقارب للجذر المضبوط كلما زادت قيمة n، بينما تتباعد القيم المولدة من الصيغة g2. كما يلاحظ أيضا من العمود الأخير بأن المراتب الست الأولى تتطابق في كل من القيم التقريبية x3، x4، x5، و x6 مما يدل على أنها تتطابق مع المراتب الست الأولى من الجذر المضبوط للمعادلة.

س/ كيف نختار الدالة g بحيث نضمن تقارب القيم المولدة من الصيغة التكرارية xn+1=g(xn)؟
ج/ وذلك بإعطاء الشروط الكافية للتقارب. إن الشرط الكافي لتقارب الصيغة التكرارية xn+1= g(xn) هو أن:
g (x)| ? k ? 1|
في المثال السابق نلاحظ بأن الشرط أعلاه يتحقق بالنسبة إلى الدوال g1، g3، g4 ولكنه لا يتحقق في الدالة g2 مما يوضح سبب تقارب الصيغ جميعها ما عدا الصيغة التي تتضمن g2.