النسبة التبادلية الفصل 12

تناولنا بالمحاضرة السابقة نموذج تحليلي:
نقاط ومستقيمات المستوى الاسقاطي تمثل بمستقيمات ومستويات الفضاء – الثلاثي الاقليدي .
- في الفضاء الثلاثي الاقليدي , ثلاثة مستويات متعامدة بالتبادل . فان كل نقطة P في هذا الفضاء تناظر ثلاثي من الاعداد الحقيقية , حيث ان , , هي المسافات من P الى هذه المستويات , على التوالي.
ناخذ أي مستقيم يمر من نقطة الاصل 0 لهذا النظام الاحداثي . يتعين المستقيم من مجموعة من ثلاثة اعداد متجهة . أي مجموعة اخرى تعين نفس الخط , حيث t أي عدد حقيقي لايساوي صفر.
اذن العدد الثلاثي يكافئ عددا ثلاثيا اخر اذا وجد عددا , بحيث ان .
مجموعة كل الثلاثيات المتكافئة بالتبادل تكون صف تكافؤ يرمز له بالرمز .
بما انه يوجد تناظر متباين بين صفوف التكافؤ , التي ليست جميع عناصرها صفرية, والمستقيمات التي تمر بنقطة الاصل في الفضاء الثلاثي الاقليدي , وبما ان هذه المستقيمات تمثل نموذجا لنقاط المستوي الاسقاطي , تكون صفوف التكافؤ هذه نموذجا تحليليا لنقاط المستوي الاسقاطي.
أي تمثيل لصف تكافؤ يدعى احداثيات متجانسة لنقطة في المستوي الاسقاطي الحقيقي, اذا كان الثلاثي العددي يتناسب مع ثلاثي لاعداد حقيقية.
ان المستقيم في المستوي الاسقاطي يناظر مستويا يمر بنقطة الاصل للفضاء الثلاثي الاقليدي .





, فان المستوي يتعين اما بثلاثي الاعداد الحقيقية ليست جميع العناصر صفرية, او باي ثلاثي اخر , حيث ان , لذلك يوجد تناظر متباين بين صفوف التكافؤ والمستويات التي تمر بنقطة الاصل , وبالتالي كذلك , بين صفوف التكافؤ هذه ومستقيمات المستوي الاسقاطي .
أي تمثيل لصف تكافؤ يدعى إحداثيات متجانسة لمستقيم في المستوي الاسقاطي الحقيقي.
أي ان النقاط والمستقيمات في المستوي الاسقاطي التحليلي تكون صفوف تكافؤ , وهذا يوضح مبدأ الثنائية في المستوي الاسقاطي.

سنتناول تعريف النسبة التبادلية وبعض التطبيقات حولها:

مثل اذا كان اثنان من الاعداد الاربعة a, b,c,d متساويين , فان النسبة التبادلية تكون او 1 .
وبالعكس , اذا كانت النسبة التبادلية R ( a,b,c,d) تساوي ,0 , او 1 , فانه في الاقل اثنين من الاعداد a,b,c,d متساويين.
النسبة التبادلية لاربع نقاط مختلفة لايمكن ان تكون , 0 , او 1 .