الهندسة الاسقاطية التركيبية

الهندسة الاسقاطية التركيبية:

نستذكر البديهيات الاربع الخاصة بالهندسة الاسقاطية التي تناولناها بالفصل الاول:
1- لاي نقطتين مختلفتين A و B في , يوجد مستقيم واحد فقط يحتويهما.
2- كل مستقيم يحتوي على ثلاث نقاط في الاقل.
3- توجد في الاقل نقطة واحدة A ويوجد في الاقل مستقيم واحد l بحيث ان .
4- أي مستقيمين مختلفين يشتركان في نقطة واحدة في الاقل.


مبرهنة 1: أي مستقيمين مختلفين l,m في يتقاطعان بنقطة واحدة وواحدة فقط.

مبرهنة 2: اية نقطة في يمر بها ثلاث مستقيمات في الاقل.

مبدأ الثنائية ( Principle of duality )
تعريف: عبارتان تكون أحداهما ثنائية (dual ) للأخرى إذا أمكن حصول واحدة من الأخرى بتبديل الكلمتين " النقطة" و " المستقيم" أحداهما محل الأخرى.
نتيجة لذلك تقع على يمر به .
نصل خط بين نقطتان يتقاطع الخطان.
نقاط على خط واحد خطوط ملتقية بنقطة واحدة.
مثال : اوجد مثنى العبارة التالية
يوجد على الأقل نقطة A خارجة من خط معلوم l .
المثنى (dual ): يوجد على الأقل خط l لايمر من نقطة معلومة A .

ملاحظة// تدعى العبارة ثنائية نفسها ( self dual ) إذا حصلنا على نفس العبارة بتبديل الكلمتين " النقطة" و " المستقيم".
مثال// المثلث " ثلاث نقاط مختلفة ولا تقع على مستقيم واحد مع الخطوط الواصلة بينها"
المثنى// ثلاث خطوط مختلفة ولا تلتقي بنقطة واحدة مع نقاط تقاطعهما.

ملاحظة: من الجدير بالذكر نلاحظ إن مبدأ الثنائية يتحقق على البديهيات الأربع الأولى , لذا فان أي عبارة نحصل عليها من البديهيات الاربع تكون صحيحة.
فمبرهنة 1 هي ثنائية بديهية رقم 1 , مبرهنة 2 هي ثنائية بديهية 2 , بديهية 3 هي ثنائية نفسها , وثنائية بديهية 4 " لاي نقطتين يوجد على الاقل مستقيم واحد يحتويهما" .