الفصل العاشر الهندسة الاهليجية او البيضوية

الفصل العاشر : الهندسة الاهليجية او ( الناقصية , البيضوية )
Elliptic Geometry

ان اول من اشار الى هذه الهندسة هو العالم الالماني ريمان في عام 1854 في رسالة الدكتوراه حيث اخذ نقيض بديهية بليفر " وهي احدى مكافئات البديهية الخامسة لاقليدس " وكما يلي :
البديهية المميزة للهندسة الاهليجية:
" لايمكن رسم أي مواز لخط معلوم من نقطة خارجة عنه".
وفي هذه الهندسة ميز ريمان بين فكرة المستقيم الغير منتهي وفكرة المستقيم الغير محدود . (حيث سابقا لايوجد فرق) وبذلك اخذ الخطوط اقواس لدوائر عظيمة على سطح كرة نصف قطرها الثابت a . فان الخط منتهي بالطول , حيث له محيط معلوم ولكن غير محدود في المفهوم الذي نستمر فيه حول الكرة دون توقف.

اذا الكرة هي نموذج لهذه الهندسة.
نقاط هذا النموذج هي نقاط على سطح الكرة.
وان المستقيمات لهذا النموذج هي دوائر عظيمة. بما ان الدوائر العظمى تتقاطع دائما , فان المستقيمين يتقاطعان دائما , ولذلك لاتوجد مستقيمات موازية للمستقيم.
بما ان توجد عدد غير منته من دوائر عظمى تمر بنقطتين متقابلتين بالقطر, فان النقطتين لاتعينان دائما مستقيما واحدا فقط. وبذلك فان بديهيات الوقوع غير متحققة. والتحول من الهندسة الاقليدية الى الهندسة الاهليجية لايتم بسهولة كما يتم مع التحول من الهندسة الاقليدية الى الهندسة الهذلولية.


يوجد نوعان من الهندسة الاهليجية:
1- الهندسة الاهليجية الاحادية: Single E.G)) والتي يكون فيها أي مستقيمين يتقاطعان في نقطة واحدة فقط. وان المستوى الاهليجي يتميز بان سطحه له جهة واحدة . وكمثال بسيط على ذلك ورقة موفيس, ونموذج اخر عليها هو نصف كرة فقط .


2- الهندسة الاهليجية الثنائية: (Double E.G) والتي يكون فيها أي مستقيمين يتقاطعان في نقطتين . وان المستوي الاهليجي يتميز بان سطحه له جهتين . مثلا الكرة التي فيها جهتين .