الفصل الثامن بعض المحاولات لبرهنة بديهية التوازي للاقليدس

سنتناول في هذه المحاضرة بعضا من محاولات العلماء لبرهنة بديهية التوازي لاقليدس .
تعتبر البديهية الخامسة لاقليدس والمسماة " بديهية التوازي" نقطة بداية لدراسة الهندسة اللااقليدية.
ويمكن تحديد مواقف هؤلاء المعترضين باحد المواقف التالية:
1- اعتقد بعضهم بان بديهية التوازي يجب ان تكون نظرية ولذلك تحتاج الى برهان يعتمد على المفاهيم الاساسية والبديهيات الاربعة الاولى .
2- وقال اخرون يمكن برهان نظرية 29 لاقليدس بدون استخدام بديهية التوازي فلا حاجة لوضع هذه البديهية . بطليموس اعتمد على هذه النظرية.
3- واخرون فرضوا نقيض بديهية التوازي واستمروا في اشتقاق النظريات لعلهم يحصلون على تناقض وبذلك يثبتون صحتها.


برهان عمر الخيام:
اولا: برهن عمر الخيام ان زاويتي السمت في رباعي الخيام متساويتين .
ثانيا: برهن عمر الخيام ان المستقيم الواصل بين منتصف القاعدة والسمت في رباعي الخيام يكون عموديا عليها.

الخطأ في برهان عمر الخيام:
اعتمد على بديهيات تكافئ بديهية التوازي وهي:
1- اذا احتوى الشكل الرباعي على ثلاث زوايا قوائم فان الزاوية الرابعة قائمة.
2- المسافة العمودية بين مستقيمين متوازيين تكون ثابتة.

محاولة جون والاس:
فرض جون والاس انه بالامكان رسم مثلث مهما يكن قياسه يشابه مثلثا معلوما .ولكن هذه العملية من مكافئات البديهية الخامسة لاقليدس.

محاولة ساكيري :
حيث حاول اثبات ان مجموع زوايا المثلث يساوي زاويتين قائمتين وذلك ببرهنة ان مجموع زوايا السمت لرباعي الخيام يساوي قائمتين.
لقد كان برهانه طويل ومعقد وغير واضح وقد اعطى بعض الحقائق الصحيحة منها:
1- اذا كان مجموع زاويتي السمت في شكل رباعي الخيام واحد قائمتين , فان أي شكل رباعي اخر مثل هذا يكون مجموع زاويتي السمت له قائمتان ايضا.
2- اذا كان مجموع زاويتي السمت في شكل رباعي الخيام اقل او اكثر من قائمتين او يساوي قائمتين , فان مجموع زوايا المثلث يكون اقل او اكثر او يساوي لزاويتين قائمتين.
3- اذا وجد مثلث واحد مجموع زواياه يساوي قائمتين او اقل او اكثر من قائمتين , فان مجموع زاويتي السمت في رباعي الخيام يساوي قائمتين او اقل او اكثر من قائمتين على التوالي.
4- كل مستقيمين في المستوي اما ان يكون لهما عمود مشترك او يتقاطعان ( اذا مدا) او يتقاربان باستمرار.