الفصل الثالث بعض مواطن الضعف في مبرهنات اقليدس

سنتناول بعض المبرهنات التي قدمها اقليدس مع بيان خطأ اقليدس في البرهان:
اذا تساوى ضلعان والزاوية المحصورة بينهما من مثلث ضلعين والزاوية المحصورة بينهما من مثلث اخر , على التناظر , فانه يتساوى المثلثان و تتساوى الزوايا المتناظرة والضلع من احدهما نظيره من الاخر.

الخطأ في البرهان :
? استعمل اقليدس في برهانه طريقة نقل الاشكال كطريقة للبرهان. ولكن تحريك مثلث غير ممكن فيزياويا (اذ لايمكن بقاءالاشكال على حالها بدون تغير ).

في المثلث المتساوي الساقين تتساوى زوايا القاعدة واذا مد الضلعان المتساويان فالزاويتان الواقعتان تحت القاعدة تتساويان ايضا.

الخطأ في البرهان :
? فرض اقليدس ان المنصف لزاوية موجود ويكون وحيدا.
? فرض ايضا ان منصف زاوية او( المستقيم المرسوم ) من احد رؤوس المثلث يقطع الضلع المقابل .

اذا تساوت زاويتان في مثلث , فالضلعان المقابلان لهما متساويان.

الخطأ في البرهان:
? البرهان تم عن طريق التناقض . ولكنه لم يحدد اين التناقض بالضبط ؟ استنتج ان المثلث الاكبر يساوي الاصغر , ولم يشر الى المساحة بل اعتمد على الرسم



كيفية تنصيف زاوية

.

الخطأ في البرهان:
? اعتمد اقليدس في هذا البرهان على الرسم , اذ كيف برهن ان AF يقع في داخل الزاوية.

اذا مد احد اضلاع مثلث فالزاوية الخارجية تكون اكبر من أي من الزاويتين الداخليتين المقابلتين لها.

الخطأ في البرهان:
? مد قطعة المستقيم من جهتيها بغير حد , لايؤدي الى ان طول المستقيم غير منته .
? استعمل اقليدس مصطلحات غير محدود كمفهوم الامتداد , بينما غير محدود تنسجم مع المستقيم المنته في الطول والغير منته.

ملاحظة :ان اية محاولة لاكمال البرهان من بديهيات ومبرهنات اقليدس سوف تكون فاشلة . كما ان اقليدس لم يتطرق الى مفاهيم مثل " البينية" " داخل" , او " خارج" في نظامه , ولايمكن البرهنة على ان المستقيم لايمكن ان يقطع كل اضلاع مثلث .

من البديهيات الضمنية , هي بديهية الاستمرارية لديديكانيد.

بديهية ديديكانيد :
اذا وقعت كل نقاط مستقيم في صنفين بحيث ان كل نقطة من الصنف الاول تقع على يسار كل نقطة من الصنف الثاني , فعندئذ توجد نقطة واحدة فقط تفصل بين الصنفين وتقسم المستقيم الى صنفين.