محاولات العلماء لبرهان البديهية الخامسة لاقليدس

سنتناول محاولات العلماء لبرهان البديهية الخامسة لاقليدس " بديهية التوازي".
ومن هذه المحاولات , محاولة بطليموس, عمر الخيام , بروكلس, واخرون.

محاولة بروكلس لبرهنة بديهية اقليدس الخامسة
:


البرهان: افترض بروكلس لبرهان بديهية التوازي الفرضية التالية
" المستقيم الذي يقطع احد مستقيمين متوازيين فانه يقطع الاخر".
محاولة عمر الخيام : حاول أن يبرهن " إذا احتوى الشكل الرباعي على ثلاثة زوايا قوائم فان الزاوية الرابعة تكون قائمة أيضا".
برهان عمر الخيام:
اولا: برهن عمر الخيام ان زاويتي السمت في رباعي الخيام متساويتين .
ثانيا: برهن عمر الخيام ان المستقيم الواصل بين منتصف القاعدة والسمت في رباعي الخيام يكون عموديا عليها.

الخطأ في برهان عمر الخيام:
اعتمد على بديهيات تكافئ بديهية التوازي وهي:
1- اذا احتوى الشكل الرباعي على ثلاث زوايا قوائم فان الزاوية الرابعة قائمة.
2- المسافة العمودية بين مستقيمين متوازيين تكون ثابتة.


محاولة جون والاس:
فرض جون والاس انه بالامكان رسم مثلث مهما يكن قياسه يشابه مثلثا معلوما .ولكن هذه العملية من مكافئات البديهية الخامسة لاقليدس.

محاولة ساكيري :
حيث حاول اثبات ان مجموع زوايا المثلث يساوي زاويتين قائمتين وذلك ببرهنة ان مجموع زوايا السمت لرباعي الخيام يساوي قائمتين.



محاولة ليجندر:
حاول ليجندر اثبات بديهية اقليدس الخامسة وذلك بان برهن مكافئتها " مجموع زوايا المثلث يساوي قائمتين " , افترض العكس بالبرهان وكان هناك احتمالين:
اولا: اذا كان مجموع زوايا المثلث اكثر من قائمتين. ولكن هذا يخالف نظرية 17 لاقليدس.
والخلل في هذا البرهان هو مد قطعة المستقيم الى مالانهاية وهذا غير صحيح.

ثانيا : اذا كان مجموع زوايا المثلث اصغر من قائمتين