المثاليات

المثاليات وحلقات القسمة
تعريف المثالية
لتكن (R,+,.) حلقة ولتكن I مجموعة جزئية غير خالية من R فيقال إن (I,+,.) مثالية في الحلقة(R,+,.) إذا وفقط إذا تحقق الشرطان الآتيان:


ملاحظات
1- كل حلقة تحتوي على الأقل مثاليتان ,+,)( و (R,+,.) اللتان تسميان بالمثاليتين التافهتين وإذا كان I فتسمى مثالية فعلية للحلقة (R,+,.)
2- إذا نحقق الشرطان أعلاه فتسى المثالية يمنى أما إذا نحقق الشرط الأول مع
فتسمى بال يسرى
3-كل مثالية هي حلقة جزئية ولكن العكس ليس دائما صحيح أعط مثال:

مثال
برهن إن (ze,+,.) تكون مثالية في (Z,+,.) وليست مثالية في (R,+,.)

مثال
برهن إن,+6,.6) I= تكون مثالية في (z6,+6,.6)
مبرهنة
تقاطع كل مثاليتين من حلقة تكون مثالية
ملاحظة
إن اتحاد مثاليتين ليس شرطا إن يكون مثالية
تعريف :الحلقة البسيطة Simple ring
يقال إن الحلقة (R,+,.) حلقة بسيطة إذا كانت لا تمتلك مثالية غير تافهة
مثال
اثبت إن حلقة الأعداد الحقيقية تكون حلقة بسيطة
مبرهنة
لتكن (R,+,.) حلقة ولتكن (I,+,.) مثالية فعلية قيها فانه لا يوجد عنصر في I له معكوس ضربي بمعنى