تقاطع الحلقات الجزئية

مثال :- (Zo,+,.) لا تكون حلقة جزئية من (Z,+,.) .
مثال :- برهن إن (S={0,2,4},+6,.6) تكون حلقة جزئية من (Z6,+6,.6) .
مثال:- لتكن برهن إن (S,+,.) تكون حلقة جزئية من (R,+,.) .
مبرهنة:- تقاطع كل حلقتين جزئيتين تكون حلقة جزئية .
البرهان:- لتكن كل من (S1,+,.) , (S2,+,.) حلقة جزئية من الحلقة (R,+,.)

من تعريف الحلقة الجزئية
1- ليكن

كل من (S1,+,.) , (S2,+,.) حلقة جزئية من (R,+,.)


2- ليكن

كل من (S1,+,.) , (S2,+,.) حلقة جزئية

تكون حلقة جزئية من (R,+,.) .
ملاحظة:- إن اتحاد حلقتين جزئيتين ليست شرطا أن تكون حلقة جزئية كما في المثال الآتي:
مثال:- لتكن
(Ze,+,.) , ((3),+,.) حلقتان جزئيتان من الحلقة (R,+,.)
ملاحظات:-
لتكن (R,+,.) حلقة ولتكن و فان
1- (m+n)a=ma+na
2-na+nbn(a+b)=
3- n(a.b)=(na).b=a.(nb)
4- (nm)a=n(ma)=m(na)
5- اذا كانت (R,+,.) حلقة ذات عنصر محايد فان na=n(1.a)=(n.1)a

مسائل:- س1)عرف عمليتين ثنائيتين * و o على مجموعة الأعداد الصحيحة ح ب a*b=a+b+2 و aob=ab+2a+2b+2
اثبت ان o توزيعية على *
س2) لتكن (R,+) اية زمرة تبديليه يمين اذا كان (R,+,.) تشكل حلقة فيما اذا عرفنا الضرب ب
ا) a.b=a
ب) a.b=0 حيث o هو العنصر المحايد للزمرة (R,+)
س3) لتكن (R,+,.) حلقة أبدالية . نعرف عملية ثنائية جديدة o في R على P بالقانون aob=a.b+b.a لكل اثبت إن (R,+,o) حلقة أبدالية .