تعاريف وامثلة

تعريف:
- يقال إن الحلقة (R,+,.) حلقة أبدالية إذا كانت العملية (.) عملية أبدالية على R أي إن a.b=b.a
تعريف:
- يقال إن الحلقة (R,+,.) حلقة ذات عنصر محايد إذا وجد عنصر محايد بالنسبة للعملية (.) والذي يسمى بالمحايد ألضربي وسوف نرمز له بالرمز (1) .
تعريف:
- لتكن (R,+,.) حلقة ذات عنصر محايد يقال إن العنصر عنصر قابل للعكس إذا وجد نظير له بالنسبة للعملية (.)
ويسمى النظير ألضربي للعنصر (a) وسوف نرمز له ( ( .
مثال:- لتكن : برهن إن (R,+,.) تكون حلقة أبدالية ذات عنصر محايد .


الــحـــل:-
1- (R,+) زمرة أبدالية نبرهن على إن (+),(.) عمليتين ثنائيتين:


2- الجمع (+) عملية تجميعية (Z) والجمع (+) عملية أبدالية
3- العنصر المحايد الجمعي (+) هو
4- النظير الجمعي للعنصر هو لأنه
5- (.) تتوزع على (+)

من (1) و(4) تكافؤ (R,+) زمرة أبدالية .
2- (R,.) شبه زمرة فقط تجميعية