تعريف الحلقة

جبر الحلقات)
( Ring The)

تعريف:
- لتكن R مجموعة غير خالية و + , . عمليتان ثنائيتان على المجموعة R يقال ان النظام الرياضي R,+,.) ) حلقة اذا وفقط اذا تحققت الشروط :-
1. ( R,+ ) زمرة أبدالية .
2. ( R,. ) شبه زمرة .
3. العملية (.) توزيعية على العملية (+) أي إن :
a.(b+c)=a.b+a.c ]قانون التوزيع من اليسار[
(b+c).a=b.a+c.a ]قانون التوزيع من اليمين[
لكل R a,b,c
ملاحظات:-
1-العمليتان (+)و(.) تسميان بعملية الجمع وعملية الضرب في الحلقة ونعني بهما العملية الاولى والعملية الثانية وليست الجمع والضرب الاعتياديين وتسمى الزمرة (R,+) بالزمرة الجمعية additive group وتسمى (R,.) شبه الزمرة الضربيةmultiplicative semi group .
2-سوف نرمز للعنصر المحايد بالنسبة للعملية (+) بالرمز (0) zero element ويسمى المحايد الجمعي .
3-إذا كان R a فسوف نرمز لنظيرهinvertible بالنسبة لعملية (+) بالرمز(-a) ويسمى بالنظير الجمعي للعنصر (a) .
تعريف: commutative ring
- يقال إن الحلقة (R,+,.) حلقة أبداليةcommutative ring إذا كانت العملية (.) عملية أبدالية على R أي إن a.b=b.a
تعريف:
- يقال إن الحلقة (R,+,.) حلقة ذات عنصر محايدring with identity إذا وجد عنصر محايد بالنسبة للعملية (.) والذي يسمى بالمحايد ألضربي وسوف نرمز له بالرمز (1) .
تعريف:
- لتكن (R,+,.) حلقة ذات عنصر محايد يقال إن العنصر عنصر قابل للعكسinvertible إذا وجد نظير له بالنسبة للعملية (.)
ويسمى النظير ألضربي للعنصر (a) وسوف نرمز له ( ( .