التجزئة

محاضرة (4)
التجزئة :
تعريف : لتكن x مجموعة خالية تسمى المجموعة [A1 , A2,…., An] تجزئة الى المجموعة x اذا وفقط اذا تحقق ما يلي :
X = A1U A2 U….U An 1-
2- تقاط كل مجموعتين هو مجموعة خالية .
3- [A1 , A2,…., An] مجموعات غير خالية اي بتعبير اخر ان تجزئة X هي مجموعة جزئية من X غير خالية ومنفصلة مثنى مثنى بحيث ان اتحادها يساوي X
مثال: اذا كانت X= [1 2,3,4,5,6]
A1=[1,3] , A2=[4] , A3=[2,5,6]
فان [A1 , A2, A3] هي تجزئة الى X
مجموعة القوة ( مجموعة المجموعات الجزئية ): تسمى المجموعة التي كل عناصرها هي مجموعة جزئية من مجموعة غير خالية X مجموعة القوة ورمزها P(X)
مثال 1: لتكن A=[a,b]
P(A)=[ [a] , [b], [a,b] , ?]
لاحظ ان عدد عناصر مجموعة القوة هو= 4 22
مثال 2: لتكن x=[1,2,3]
فان عدد عناصرها هو 8=23 وهي :
P(x)=[?, [1] , [2], [2] , [3] , [1,2] , [1,3], [2,3], [1,2,3]]
تمرين:
1- اكتب قوانين جبر المجموعات
2- اكتب مجموعة القوة للمجموعة :
Y = [a,b,c,d]
3- لتكن A , B مجموعتين تحققان الشرط
A – B = B – A = ?
اثبت ان A=B
الأزواج المرتبة والحاصل الديكارتي
الزوج المرتب : هو كائن مؤلف من عنصرين a,b يسمى a العنصر الأول او المسقط الأول ويسمى b العنصر الثاني او المسقط الثاني للزوج ويكتب الزوج المرتب بالشكل(a,b) يتساوى زوجان مرتبان (c,b), (a,b) اذا تساوت عناصر الأول على الترتيب مع عناصر الثاني اي :
(a , b) = (c , d) a=c ? b=d
الحاصل الديكارتي :
الحاصل الديكارتي للمجموعة A في المجموعة B هو مجموعة جميع الأزواج المرتبة التي مسقطها الأول من المجموعة A ومسقطها الثاني من المجموعة B ويكتب A X B وبالرموز
A X B = [ (a,b): a ? A ? b ? B]
مثال : لتكن A= [1,3] , B=[a,b] فان :
A X B = [ (1,a), (1,b) , (3,a) , (3,b)]
نلاحظ أعداد عناصرها A X B
يمكن تمثيل الحاصل الديكارتي سهمياً , بيانياً وجدولياً (حاول ذلك ايها الطالب )
ويمكن تعميم فكرة الحاصل الديكارتي لتشمل اي عدد منته من المجموعات وكالاتي :
A X B X C = [ (a , b , c): a ? A , b ? B , c ? C]
ويسمى الحاصل الديكارتي A X B X C مجموعة جميع الثلاثيات المرتبة (a,b,c) حيث a ? A , b ? B , c ? C,
وبصورة عامة اذا كان لدينا عدد منته من المجموعات [A1 , A2,…., An]
A1 X A2 X A3 X….X An= [(a1,a2,….,an):ai]
حيث ان i=1,2,……,n
الان نستعرض بعض خواص الحال الديكارتي :
مبرهنة: اثبت ان ? X A = A X ? = ?
البرهان : اذا لم يكن ? X A مجموعة خالية فأن Aيوجد ? x A ? (x , y) وهذا يؤدي الى ان X ? ? وهذا يتناقض ومفهوم المجموعة الخالية
وبنفس الأسلوب نبرهن ان A X ? = ?
مبرهنه لتكن كل من A,B مجموعة غير خالية فان :
A X B = B X A
اذا وفقط اذا A = B
البرهان : نفرض ان A = B واضح ان
A X A = A X A
A X B = B X A
وبصورة معاكسة نفرض ان
A X B = B X A
وان a ? A
(a , b)? A X B لكل عنصر b ? B
وعليه فان : (a , b)? A X B
(a , b)? B X A a ? B ? b ? A
a ? A a ? B
A ? B……….(1)
وبنفس الطريقة نبرهن ان
B ? A……….(2)
ومن (1) و (2) نستنتج ان: A = B
مبرهنة : اذا كانت C,B,A مجموعة فان
1- A X (B ? C) = (A X B) ? (A X C)
2- A X (B U C) = (A X B) ? (A X C)
3- A X (B - C) = (A X B) - (A X C)
برهان الجزء الاول (x,y) ? A X (B ? C)
(x,y) ? A X (B ? C) X ? A ? Y ? (B ? C) الان
(X ? A ? Y ? B) ? (X ? A ? Y ? C)
(x,y) ? A X B ? (x,y) ? A X C
(x,y) ? (A X B) ? (A X C)
A X (B ? C) ? (A X B) ? (A X C)…………(1)
وبصورة معاكسة نفرض ان :
(a , b) ? (A X B) ? (A X C)
الان :? (A X B) ? (A X C) (a , b)
? A X B ? (a , b) ? A X C (a , b)
? A ? b ? B) ? (a ? A ? b ? C) (a
a ? A ? (b ? B ? b ? C)
a ? A ? (b ? B ? C)
(a,b) ? A X (B ? C)
(A X B) ? (A X C) ? A X (B ? C)…………(2)
ومن (1) و(2) نستنتج ان :
A X ( B ? C) = (A X B) ? (A X C)
3- الحاصل الديكارتي يتوزع على (الفرق) الفضلة
A X (B - C) = (A X B) – (A X C)
(a ,x) ? (A X B)- (A X C)
(a ,x) ? (A X B) ? (a ,x) ? A X C
(a ? A ? X ? B) ? (a ? A ? X ? C)
(a ? A ? a ? B) ? (x ? B ? X ? C)
(a ? A) ? x ? (B - C)
(a , X) ? A X (B - C)
برهن :
1- C- (A U B) = (C - A) ? (C - B)
2- C- (A U B) = (C - A) ? (C - B)
3- A ? B = ? A – B = A, B – A = B
4- A ? B A – B = ?
5- A ? (B - C)= ( A ? B) –( A ? C)
6- C ? D , A ? Bاذا كانت
A U C ? B U D اثبت ان
7- B = [ -1 , 2] , A = [ -1 , 3] اذا كانت
A ? B , A - B جد
8- X = Y مجموعة وان X , Yاذا كانت كلاً
X - Y = Y - X اثبت ان :