إيجاد معكوس مصفوفة مربعة باستخدام طريقة المرافقة الثنائية

(( إيجاد معكوس مصفوفة مربعة باستخدام طريقة المرافقة الثنائية ))
المرافقة الثنائية للمصفوفة المربعة A :- هي المبدلة لمصفوفة مرافقات عناصر A ورمزها adj A اي اذا كانت A= (( aij )) من درجة n فأن َij)) ? adj A= ((? ji ))=((
حيث ?ij مرافقة العنصر aij .
لتكن A=(?(a_11&a_12@a_21&a_22 ))
adj A=(?(?_11&?_21@?_12&?_22 )) فان
حيث:
?11=(-1)1+1 (a22)=a22
?22=(-1)2+2(a11)=a11
?12=(-1)1+2(a21)=-a21
?21=(-1)2+1(?12)=-a12
?adj A= (?(a_22&?-a?_12@?-a?_21&a_11 ))
ويكون معكوس المصفوفة هو ?(A^(-1)&=&?(1/|A| &adj A))
حيث ?(|A|&?&0)
مثال1//
فالمرافقة الثنائية لـ A=(?(2&3@1&2)) هي Adj A=(?(2&-3@-1&2))
|A|=4-3=1 ??A-1 = 1/|A| adj=(?(2&-3@-1&2))
مثال 2// أوجد A-1 اذا كانت
A=(?(1&2&-3@0&4&5@-2&-1&3))
لنفرض ان مبدلة مصفوفة مرافقات عناصر A هي B=(?(?_11&?_12&?_13@?_21&?_22&?_23@?_31&?_32&?_33 ))
الحل/
اولاً: نجد عناصر مصفوفة المرافقات ?_11=?((-1)^(1+1)&|?(4&5@-1&3)|=17)
?_12=?((-1)^(1+2)&|?(0&5@-2&3)|=-10 )
?_13=?((-1)^(1+3)&|?(0&4@-2&-1)|=8)
?_21=?((-1)^(2+1)&|?(2&-3@-1&3)|=-3)
?_22=?((-1)^(2+2)&|?(1&-3@-2&3)|=-3)
?_23=?((-1)^(2+3)&|?(1&2@-2&-1)|=-3)
?_31=?((-1)^(3+1)&|?(2&-3@4&5)|=22)
?_32=?((-1)^(3+2)&|?(1&-3@0&5)|=-5)
?_33=?((-1)^(3+3)&|?(1&2@0&4)|=4)
?B=(?(17&-10&8@-3&-3&-3@22&-5&4))
ثانياً: نجد مبدلة مصفوفة المرافقات B وتمثل adj A
أي ان adj A=(?(17&-3&22@-10&-3&-5@8&-3&4)) BT =
والمعكوسة لـ A هي: ?(A^(-1)&=&?(1/|A| &adj A))
حيث ?(|A|= -27&)
?A-1 = ?(1/(-27)&(?(17&-3&22@-10&-3&-5@8&-3&4)) )
تمرين / اوجد معكوس المصفوفة الاتية :
?(M=&(?(3&-1&2@6&0&4@1&3&-2)) )