مقاييس النزعة المركزية

الفصل الثالث
مقاييس النزعة المركزيةCentral Tendency Measures
اشرنا في الفصل الثاني الى طرائق وصف البيانات بالرسم ( كالاعمدة البيانية والدائرة البيانية والمدرج البياني و المضلع التكراري ) وهي طرائق مفيدة في اعطاء فكرة سريعة ومبسطة عن البيانات ، الا ان هذه الطرائق لاتسمح لنا بعمل استدلال احصائي عن المجتمع الذي اخذت منه العينة . وهذا مايدعو الى استخدام طرائق اخرى لوصف هذه البيانات ويمكن استخدامها لعمل بعض الاستدلال عن معالم المجتمع ومن ابرزها استخدام مقاييس احصائية لوصف وتحليل البيانات ومن بين هذه المقاييس هي مقاييس النزعة المركزية والتي هي عبارة عن مقاييس تأخذ على انها ممثلة لمجموعة البيانات التي سحبت منها وتتجه نحو الوسط . اي ان هذه المقاييس تعطينا قيمة تمثل العينة والمجتمع الذي ندرسه اكثر من اية مفردة من مفرداته وتأخذ هذه المقاييس عدة اشكال ومنها (الوسط الحسابي ، والوسط الهندسي ، والوسط التوافقي ، والوسيط ، والمنوال )
وسنتاول في هذا الكتاب اكثر المقاييس شيوعاً في العلوم التربوية والنفسية وهي (الوسط الحسابي ، والوسيط والمنوال )
اولاً:: الوسط الحسابي Arithmetic mean
ويعرف بأنه مجموع القيم مقسوماً على عددها ، او انه يمثل معدل القيم في التوزيع ويرمز لوسط المجتمع بالرمز( µ ) وهو حرف لاتيني ويقرأ ميوه اما في العينة فيرمز له (س-).
ويستخرج الوسط الحسابي للمجتمع كما يأتي :-
µ = (س مج )/ن
حيث مجـ س يشير الى مجموع القيم في المجتمع ، و (ن) عدد القيم في المجتمع .
اما في العينة س- = (س مج )/ن
مجـ س يشير الى مجموع القيم في العينة ، و (ن) عدد القيم في العينة .




ايجاد الوسط الحسابي للبيانات غير المبوبة ..
افترض ان لدينا (ن) من القيم هي س1 ، س2 ، ........ سن عندئذ يمكن ايجاد الوسط الحسابي للبيانات غير المبوبة حسب الصيغة الاتية :-
س- = (س………….س+س)/ن
مثال (1-3) ::البيانات الاتية تمثل عدد طلبة الدراسات العليا / الماجستير في اقسام كلية التربية / جامعة بابل (3 ، 6 ، 7 ، 9 ، 10) والمطلوب ايجاد المتوسط الحسابي لعدد طلبة الماجستير في كلية التربية .
س- = (مج س)/ن
س- = 3 + 6 + 7 + 9 + 10 = 7
5
حساب الوسط الحسابي للبيانات المبوبة .
يُعرف الوسط الحسابي للبيانات المبوبة بأنه حاصل ضرب مراكز الفئات في التكرارات المناظرة وقسمة الناتج على مجموع التكرارات
لايجاد الوسط الحسابي للبيانات المبوبة نتبع الخطوات الاتية :-
نجد مركز كل فئة من الفئات (س)
ب- نضرب مركز كل فئة في التكرار المقابل لها
ج- نجد المجموع الكلي لحاصل ضرب مراكز الفئات في التكرار المقابل لكل منها
د- نقسم المجموع الكلي لحاصل ضرب مراكز الفئات في التكرار المقابل لكل منها على المجموع الكلي للتكرارات وبالصيغة الرياضية .
س- = (ك س مج)/ن
حيث (مجـ س ك) ::: يمثل مجموع حاصل ضرب مراكز الفئات في التكرار المقابل لكل منها
(ن) يمثل المجموع الكلي للتكرارات .
مثال (3-2) يبين الجدول (3-1) توزيع الدرجات لعينة من (50) طالباً في مادة الاحصاء التربوي . اوجد الوسط الحسابي
الجدول (3-1)
توزيع الدرجات لعينة من (50) طالباً في مادة الاحصاء التربوي
فئات الدرجة عدد الطلاب
صفر – 9 3
10 – 19 9
20 – 29 20
30 – 39 10
40 – 49 8
الحل :: من خلال تطبيق الخطوات الواردة في طريقة حساب الوسط الحسابي للبيانات المبوبة في جدول (3-1) ادناه نحصل على الجدول (3- 2)
الجدول (3- 2)
خطوات حساب الوسط الحسابي للبيانات المبوبة
فئات الدرجة مراكز الفئات (س) عدد الطلاب (ك) حاصل ضرب التكرار× مركز الفئة
صفر – 9 4,5 3 13,5
10 – 19 14,5 9 130,5
20 – 29 24,5 20 490
30 – 39 34,5 10 345
40 – 49 44,5 8 356
50 1335


س- = مجـ س ك = 1335 = 26,7
ن 50


الوسط الحسابي المرجح :: يستخدم الوسط الحسابي المرجح في حالة وجود عدة اوساط تمثل عدة مجموعات من الدرجات او القيم او المشاهدات ويتم ذلك من خلال مجموع حاصل ضرب عدد افراد كل مجموعة في وسطها وقسمة الناتج على عدد الافراد في المجموعات التي تمثلها تلك الاوساط وبالصيغة الرياضية يعبر عنها كما يأتي :-
س-و= (ن+س………ن×س+ن×س)/(ن…………….ن+ن )
مثال (3 - 3) :: اذا علمت ان الوسط الحسابي لدرجات طلبة الصف السادس الاعدادي في مادة اللغة العربية يساوي (70) درجة في حين كان الوسط الحسابي لدرجات طلبة الصف السادس الادبي في نفس المادة هو (65) درجة علماً ان عدد طلبة الفرع العلمي هو (200) طالباً مقابل (100) طالباً من الفرع الادبي فما هو الوسط الحسابي المرجح للمجموعتين :-
س-و = 70 × 200 + 65 × 100 = 68,33
200 + 100
وفي بعض الاحيان تقترن قيمة كل متغير بوزن معين عندئذ يتم حساب الوسط الحسابي المرجح من خلال ضرب كل متغير بالوزن المقابل له وقسمة الناتج على المجموع الكلي للاوزان .
مثال (3 - 4) : الجدول ادناه يبين الدرجات التي حصل عليها طالب في الصف الرابع في قسم التربية وعلم النفس وعدد الساعات المقابل لكل مادة . اوجد الوسط الحسابي المرجح لدرجات هذا الطالب .
جدول (3 – 3 )
الدرجات التي حصل عليها طالب في الصف الرابع في قسم التربية وعلم النفس وعدد الساعات المقابل لكل مادة
المادة الدرجة عدد الساعات
الصحة النفسية 70 2
التربية العملية 75 4
مشروع البحث 80 2
التخطيط التربوي 65 3
نصوص E 60 2
الحاسوب 70 2
اقتصاديات التعليم 72 3
المجموع 492 18

س-و = 70×2 + 75 ×4 + 80×2+ 65×3+60×2 + 70×2 + 72×2 = 68,33
2+ 4 + 2 + 3 + 2 + 2 + 3
س-و = 70,61 ويمثل المعدل العام للطالب في الصف الرابع
خواص الوسط الحسابي :: يمكن تلخيص الوسط الحسابي بما يأتي :-
مجموع انحرافات القيم عن وسطها الحسابي يساوي صفر
فلو كانت لدينا الدرجات (2 – 3 – 5 – 7 – 9 - 10) فأن الوسط الحسابي لها يساوي (6) وان مجموع انحرافات هذه الدرجات عن الوسط الحسابي يساوي صفر وكما موضح في الجدول (3 - 4) ادناه .
جدول (3 - 4)
مجموع انحرافات الدرجات عن وسطها الحسابي يساوي صفر
س س – س
2 2 – 6 = -4
3 3 – 6 = -3
5 5-6 = -1
7 7-6 = 1
9 9 – 6 = 3
10 10 – 6 = 4
المجموع صفر

ب- تنص الخاصية الثانية للوسط الحسابي على ان مجموع مربعات انحرافات القيم عن الوسط الحسابي هي اقل من مجموع مربعات انحرافات القيم عن اي قيمة اخرى تختلف عن الوسط الحسابي .
بالرجوع الى جدول (3 - 4) نفترض اننا اخترنا الدرجة (3) عندئذ فأن مجموع مربعات انحرافات الدرجات عن الدرجة (6) التي تمثل الوسط الحسابي هو اقل من مجموع مربعات انحرافات الدرجات عن الدرجة (3) ويمكن توضيح ذلك بالجدول (3- 4) ادناه .

جدول (3-4)
يبين مجموع مربعات انحرافات القيم عن الوسط الحسابي اقل من مجموع مربعات انحرافات القيم عن اي قيمة اخرى
س س – س- (س – س-)2 س – 3 (س – 3)2
2 2 – 6 = -4 16 2-3 = -1 1
3 3 – 6 = -3 9 3 -3 = صفر صفر
5 5-6 = -1 1 5 -3 = 2 4
7 7-6 = 1 1 7 – 3 = 4 16
9 9 – 6 = 3 9 9 – 3 = 6 36
10 10 – 6 = 4 16 10 – 3=7 49
صفر 52 106
3- اذا اضيف عدد ثابت (ب) الى كل قيمة من قيم المشاهدات الاصلية (س) ورمزنا الى القيمة الجديدة الناتجة بالحرف (ص) فأن :-
الوسط الحسابي للقيم الجديدة = الوسط الحسابي للقيم الاصلية + العدد الثابت ب
وبالصيغة الرياضية
ص = س + ب
ص- = س- + ب
وبالرجوع الى بيانات الجدول (3 - 3) افترض اننا اضفنا ثابتاً مقداره (5) الى كل درجة فأن القيم الجديدة وبعد الاضافة تصبح (7 – 8 – 10 – 12 – 14 - 15)
وان وسطها الحسابي هو
ص- = 7 + 8 + 10 + 12 + 14 + 15 = 11
6
ويلاحظ ان الوسط الحسابي الجديد هو الوسط الحسابي السابق (6) مضافاً اليه الثابت المضاف (5) .
4- اذا ضربت كل قيمة من قيم المشاهدات الاصلية بعدد ثابت فأن الوسط الحسابي للقيم الجديدة يساوي الوسط الحسابي للقيم الاصلية مضروباً في الثابت وبالرجوع الى البيانات في الجدول (3 - 3)

ص- = 2×2 + 3×2 + 5×2+ 7×2+9×2 + 10×2 = 12
6

ويلاحظ ان الوسط الحسابي الجديد = الوسط الحسابي السابق مضروباً في الثابت الذي اضيف والذي مقداره (2)
5- ان الوسط الحسابي لمجموع متغيرين يساوي مجموع الوسطين الحسابيين لكل من المتغيرين فأذا رمزنا الى المتغيرين س ، ص والى مجموعهما بالرمز ع اي ان
ع = س + ص فأن ع- = س- + ص-
مثال :: افترض ان المتغير (س) يأخذ الدرجات 2 ، 4 ، 6 ، 8 وان المتغير (ص) يأخذ الدرجات (3 ، 6 ، 7 ، 8 ) المطلوب ايجاد الوسط الحسابي لكل من المتغيرين ثم ايجاد الوسط الحسابي لمجموعهما
س- = 2+ 4 + 6 + 8 = 68,33
4

ع- = (2+3) + (4 +6) + ( 6 + 7) + (8+8) = 44 = 11
4 4
يلاحظ ان ع- = س- + ص-
6- لما كانت جميع القيم تدخل في حساب الوسط الحسابي لذا نجده يتأثر بالقيم المتطرفة ويفضل في هذه الحالة قياس النزعة المركزية بأستخدام الوسيط
فلو كانت لديك الدرجات (100 , 95 ، 90 ، 89 ، 86 ، 85 ، 20 ، 15 ، 10 ، 5) فأن مجموع هذه الدرجات هو (595) والوسط الحسابي لها هو (59,5) وهذا يعني ان الوسط قد تأثر بالدرجات المتطرفة .
7- لايمكن حساب الوسط الحسابي في حالة التوزيع ذي الفئات المفتوحة اي التي لايحدد فيها الحد الادنى للفئة الاولى او الحد الاعلى للفئة الاخيرة ففي الحالتين لايمكن حساب مركز الفئة لكل منهما .