بعض خصائص الإنحراف المعياري :
1 – قيمة الانحراف المعياري دائماً موجبة أو أكبر من أو تساوي صفر. فأقل قيمة تساوي الصفر (وذلك عندما تكون جميع القيم متساوية، وفي هذه الحالة لا توجد فروق أو إنحرافات بينها وبين الوسط الحسابي وبالتالي لا يوجد أي تشتت بين القيم، وبالتالي فإن قيمة الإنحراف المعياري في حالة تساوي جميع القيم تساوي الصفر).
2 – كلما كان التشتت كبيراً حول الوسط كلما كان الانحراف المعياري كبيراً، والعكس صحيح.
3 – إذا أضفنا وطرحنا مقداراً ثابتاً من كل القيم فإن قيمة الانحراف المعياري (أو التباين) لا تتغير (أي لا تتأثر قيمة الانحراف المعياري بالطرح أو الجمع). ولتوضيح هذه الخاصية نأخذ المثال التالي :
مثال (5) :
حل المثال السابق رقم 4 بعد طرح 70 (على سبيل المثال من كل القيم لاحظ أن هذا سوف يسهل الحسابات).
الحـل :
المربعات (بعد الطرح) القيمة بعد طرح (70)
X2 X
0 0
25 5
1 1
25 5
16 4
36 6
9 3
64 8
?X 2 = 176 ?X = 176
ويكون التباين
=
= 22-16
= 6
والانحراف المعياري وهي النتائج نفسها مع ملاحظة أن العمليات الحسابية أسهل في هذه الحالة. وتجدر الإشارة إلى أنه لو طرحنا أي قيمة أخرى سنحصل على النتائج نفسها.
4- إذا ضربنا كل قيمة في مقدار ثابت ثم حسبنا الانحراف المعياري للقيم الجديدة فإنه يجب القسمة على هذا المقدار الثابت. وإذا قسمنا كل قيمة على مقدار ثابت ثم حسبنا الانحراف المعياري للقيم الجديدة فإنه يجب الضرب في هذا المقدار الثابت.
5.5 معامل الاختلاف : The Coefficien of Variation
لمقارنة تشتت مجموعتين (أو أكثر) من البيانات وكانت البيانات تختلف في مستواها العام (أي في أوساطها الحسابية) و / أو تختلف في وحدات القياس (مثلاً مقارنة بيانات الدخل حيث تقاس بالريال ببيانات العمر حيث تقاس بالسنوات) فإن المقارنة لا تتم مباشرة بمقارنة الانحراف المعياري لكل منهما بل تتم من خلال مقياس آخر هو "معامل الاختلاف" أو ما يسمى أحياناً مقياس التشتت النسبي حيث ينسب الانحراف المعياري لكل مجموعة إلى وسطها الحسابي والضرب في 100 فنحصل على مقياس نسبي أو مئوي (وبدون تمييز) أي تتم المقارنة بحساب معامل الاختلاف لكل منهما، والمجموعة التي لها معامل اختلاف أكبر تكون أكبر تشتتاً والعكس صحيح أي أن :
معامل الاختلاف = × 100
وإذا رمزنا لمعامل الاختلاف بالرمز C. V فإن :
مثال (6) إذا كان الوسط الحسابي والانحراف المعياري لدخول عينة من الناخبين بالريالات هو : X1 = 1500, S1 = 152
وكان الوسط الحسابي والانحراف المعياري لأعمارهم (بالسنوات) هو :
X2 = 42, S2 = 9.2
فأيهما أكثر تشتتاً الدخل أم العمر ؟
الحل :
لمقارنة التشتت نحسب معامل الاختلاف لكل من الدخل والعمر كما يلي :
1- معامل اختلاف الدخل :
2- معامل اختلاف العمر :
3- بما أن معامل اختلاف العمر أكبر من معامل اختلاف الدخل فإن بيانات العمر تكون أكثر تشتتا من بيانات الدخل.
حساب التباين والانحراف المعياري للبيانات المبوبة :
إذا كانت البيانات مبوبة على شكل قيم وتكرارات، فإن التباين والانحراف المعياري بالطريقة المختصرة يمكن حسابهما كما يلي :
التباين في حالة البيانات المبوبة :
الانحراف المعياري للبيانات المبوبة
حيث X تمثل القيم، f تمثل التكرارات. وإذا كانت البيانات على شكل فئات تحسب مراكز هذه الفئات ويرمز لها بالرمز X، ويتم حساب ،
مثال (7) : الجدول التالي يمثل توزيع مجموعة من الناخبين حسب أعمارهم وفي وقت معين، والمطلوب حساب الانحراف المعياري لأعمار الناخبين ؟
عدد الناخبين
f الأعمار
X
3 20
4 25
5 30
2 35
14 المجموع
الحل :
ينظم الحل كما في الجدول التالي حيث يتم حساب كل من Xf، X2f للحصول على ،
حاصل ضرب
X2f حاصل ضرب
Xf أعداد الناخبين
f الأعمار
X
1200 60 3 20
2500 100 4 25
4500 150 5 30
2450 70 2 35
?x2f = 10650 ?xf = 380 ?f = 14 المجموع
ويحسب الانحراف المعياري باستخدام الصيغة التالية :
أي أن الانحراف المعياري لأعمار الناخبين يساوي 4.9 سنة.