امثلة عن اختبار الفروض

مثال 7:

إذا كانت أوزان الأفراد الذكور تتبع توزيعا طبيعيا . وللمقارنة بين أوزان الأفراد الذكور في فئتي العمر (34-25) ,  ( 54-45 ) اختيرت عينة من أفراد كل فئة.  حيث اختيرت عينة حجمها 10 أشخاص من  الفئة (34-25) فكان متوسط أوزانهم يساوي 70.19 كلحم بتباين  قدرة 8.71 كلحم ،واختيرت عينة حجمها 15 شخصا ً من الفئة (54-45) فكان متوسط أوزانهم يساوي 68.58 كلحم  بتباين قدره 12.56 كلحم ..
فهل تدل هذه البيانات على أن الأفراد الذكور من فئة العمر (34-25 )أثقل وزنا من الأفراد في فئة العمر (54-45 ) ..استخدمي مستوى معنوية    ؟

الحل:

أ – صياغة الفرض الإحصائي
                                 ضد                        

ب – مستوى المعنوية   

جـ - إجراء الاختبار الإحصائي
نوع الاختبار :  الاختبار من طرف واحد ( الطرف الأيمن)

 نستخدم توزيع ت عند درجة حرية ن1 + ن2  -2= 10 + 15 – 2 = 23 

القيمة الجدولية :
  =   = 1.714

عمج =   =  = 3.32

 إحصاء الإختبار:

د – اتخاذ  القرار:
بما أن قيمة إحصاء الاختبار وقعت في منطقة القبول  فإننا نقبل فرض العدم ف. أي أن متوسط أوزان الذكور في فئة العمر (34-25) لايختلف عن متوسط أوزان الذكور في فئة العمر(54-45).

 4- اختبار ت(T) لمعنوية الفرق بين متوسطي مجتمعين للعينات الغير مستقلة
T – Tests of significance for two Related samples                                    

إذا أردنا أن نعرف ما إذا كان نوع جديد من البنزين أفضل من النوع الموجود حاليا من حيث عدد الكيلو مترات التي تقطعها السيارة في اللتر الواحد . فإننا نختار عينة من 20 سيارة (مثلا) و نجعل كلا منها تستخدم النوع الحالي من البنزين مرة و النوع الجديد مرة أخرى ثم نسجل المشاهدتين و هكذا بالنسبة لجميع سيارات العينة فنحصل على 20 زوجا من المشاهدات أى زوج واحد من المشاهدات لكل سيارة من سيارات العينة ثم نجري الأختبار الإحصائى ( هذة الطريقة تسمى طريقة العيناتالمذدوجة أو طريقة إزدواج المشاهدات) و في هذه الحالة تكون العينتان غير مستقلتان.

لنفرض أن مـ1 هى متوسط عدد الكيلو مترات التي تقطعها السيارة في اللتر الواحد من البنزين الحالي
أن مـ2 هى متوسط عدد الكيلو مترات التي تقطعها السيارة في اللتر الواحد من البنزين الجديد
فإننا نريد إختبار
 
فرض العدم هو       و الفرض البديل        

وبفرض أن
- المجتمع الأول( هو المعدل الكيلومتري للسيارات عند إستخدام النوع الحالي من البنزين) يتبع توزيعا طبيعيا متوسطه  مـ1  و تباينه عـ1 2 
- المجتمع الثاني ( هو المعدل الكيلومتري للسيارات عند إستخدام النوع الجديد من البنزين ) يتبع توزيعا طبيعيا متوسطه  مـ2  و تباينه عـ2 2  .
- فإذا كانت ن من أزواج المشاهدات في العينة ( س1 , ص1 ) , ( س2 , ص2 ) , ... , ( سن , صن )
- فإننا نقوم بحساب الفروق   ق1 =  س1  -  ص1 , ق2 =  س2  -  ص2 , ...  قن =  سن  -  صن
  
و يكون إحصاء الإختبار في هذه الحالة هو :

                      ت =   ~   ت( ن – 1 )  
 حيث  أن   هي الوسط الحسابي للفروق في العينتين
       أي أن 
            ع ق هي الأنحراف المعياري للفروق في العينتين

        أى أن   = 
و بإفتراض صحة فرض العدم 
فإن إحصاء الإختبار يكون
 
             ت =   ~ ت( ن – 1 ) 

اذا كان مستوى المعنوية ? , فإن القيمة الجدولية  تكون
  اذا كانت         ( الاختبار من طرف واحد أيسر)
 أو   اذا كانت        ( الاختبار من طرف واحد أيمن)
أو   اذا كانت         ( الاختبار من طرفين)