اتخاذ القرار:
اذا وقعت القيمة المشاهدة للإحصاء ز والمحسوبة من بيانات العينة قي منطقة الرفض أي اذا كانت
ز> زo في حالة ف1: مـ > مـ0
او
ز< زo في حالة ف1: مـ < مـ0
او
ز > ز1 و ز < ز2 في حالة ف1: مـ ? مـ0
فاننا نرفض فرض العدم ف. عند مستوى المعنوية ? ونقبل الفرض البديل ف1 ,أما اذا وقعت القيمة المشاهدة للإحصاء ز في منطقة القبول فإننا نقبل فرض العدم ف.ونرفض البديل ف1
يمكن تطبيق الخطوات السابق ذكرها لاختبار أي فرض إحصائي
اختبار المعنوية للبيانات الكمية
1 – اختبار المعنوية ز(Z) للعينة الواحدة : Z- Test for a single sample
سوف نطبق الخطوات السابقة لاختبار فرض حول متوسط المجتمع مـ و ذلك في حالة العينات الكبيرة ( ن ? 30)
إذا كان المجتمع الذي اختيرت منه العينة يتبع توزيعا طبيعيا و كان الانحراف المعياري للمجتمع عـ معلوم اوغير معلوم و حجم العينة كبير ( ن ? 30) فإن إحصاء الاختبار:
(الانحراف المعياري للمجتمع عـ معلوم)
أو
(الانحراف المعياري للمجتمع عـ غير معلوم)
وهذا الإحصاء له توزيع طبيعي بمتوسط 0 وتباين 1
حيث أن م - متوسط العينة مـ - متوسط المجتمع ع - الانحراف المعياري للعينة
عم - الخطأ المعياري = ن – حجم العينة عـ - الانحراف المعياري للمجتمع
فإذا كان فرض العدم هو
و الفرض البديل هو احد الحالات التالية
وبافتراض صحة فرض العدم فإن إحصاء الاختبار يكون
(الانحراف المعياري للمجتمع عـ معلوم)
او
(الانحراف المعياري للمجتمع عـ غير معلوم)
اذا كان مستوى المعنوية ? , فإن القيمة ز الجدولية تكون
ز (اختبار من طرف واحد) اذا كانت ( الاختبار من طرف واحد أيسر)
أو ز (اختبار من طرف واحد) اذا كانت ( الاختبار من طرف واحد أيمن)
أو ز (اختبار من طرفين) اذا كانت ( الاختبار من طرفين)
مثال(2) :
إذا كان من المعروف ان جسم الإنسان البالغ يحتاج يوميا في المتوسط 800 ميللجرام من الكالسيوم لكي يقوم بوظائفه خير قيام.ويعتقد احد علماء التغذية إن الإفراد ذوي الدخل المنخفض لا يستطيعون تحقيق هذا المتوسط , ولاختبار ذلك تم اختيار عينة من 50 شخصا بالغا من بين ذوي الدخل المنخفض فكان متوسط ما يتناوله من كالسيوم يوميا هو 755.3 ميللجرام والانحراف المعياري هو 239.3 ميللجرام .فهل تدل هذه النتائج على إن متوسط ما يتناوله الأشخاص البالغون من ذوي الدخل المنخفض من كالسيوم يقل عن 800 ميللجرام؟ استخدم مستوى معنوية 05.0
الحل :
أ – صياغة الفرض الإحصائي
فرض العدم ف. : مـ = 800 ضد الفرض البديل ف1 : مـ < 800
حيث مـ هي متوسط ما يتناوله الإنسان البالغ ذوي الدخل المنخفض من الكالسيوم .
ونلاحظ هنا إن الاختبار ذو جانب (طرف) واحد هو الجانب (الطرف) الايسر
ب- مستوى المعنوية
حيث ان ?=0.05 فانه من جدول التوزيع الطبيعي القياسي
نجد ان القيمة الحرجة (القيمة الجدولية) هي : ز0 = - 1.645
ج – اجراء الاختبار الاحصائي
ولان مجهولة والعينة كبيرة فانه يمكن استخدام ع = 239.3 بدلا منها .وبالتعويض نجد إن قيمة إحصاء الاختبار هي
د – اتخاذ القرار
وقيمة الإحصاء المحسوبة - 1.32 اكبر من القيمة الحرجة (الجدولية) 1.645-
أي هي تقع في منطقة القبول وبالتالي فإننا نقبل فرض العدم ف. وهو ان متوسط ما يتناوله الإنسان البالغ ذو الدخل المنخفض من الكالسيوم يساوي 800 ميللجرام .
مثال (3) :
في عينة عشوائية مكونة من تسجيل 100 حالة وفاة في قرية معينة تبين ان متوسط العمر في العينة 67.5 عاما والانحراف المعياري 8 أعوام. فهل هذا يوضح ان متوسط العمر في هذه القرية اكبر من 65 عاما ؟
استخدم مستوى معنوية % 1.
الحل
نفرض ان مـ متوسط العمر في هذه القرية .
أ – صياغة الفرض الإحصائي
فرض العدم ف. : مـ = 65 ضد الفرض البديل ف1 : مـ > 65
ونلاحظ هنا إن الاختبار ذو جانب (طرف) واحد هو الجانب (الطرف) الأيمن
ب- مستوى المعنوية
حيث إن ?= 0.01 فانه من جدول التوزيع الطبيعي القياسي
نجد أن القيمة الحرجة (القيمة الجدولية) هي : ز0 = 2.33
ج – إجراء الاختبار الإحصائي
ولان مجهولة والعينة كبيرة فانه يمكن استخدام ع = 8 بدلا منها .وبالتعويض نجد إن قيمة إحصاء الاختبار هي
د – اتخاذ القرار
وقيمة الإحصاء المحسوبة 3.125 اكبر من القيمة الحرجة (الجدولية) 2.33
أي هي تقع في منطقة الرفض وبالتالي فإننا نرفض فرض العدم ف. ونقبل الفرض البديل ونستنتج من ذلك أن متوسط العمر في هذه القرية اكبر من 65 عاما
2 - أختبار ت ( T ) للعينة الواحدة : T- Test for a Single Sample
إذا كان المجتمع الذي أختيرت منه العينة يتبع توزيعا طبيعيا و كان الأنحراف المعياري للمجتمع عـ غير معلوم و حجم العينة صغيرا ( ن < 30 ) فإن إحصاء الأختبار:
وهو له توزيع ت بدرجات حرية (ن - 1 )
حيث أن م - متوسط العينة مـ - متوسط المجتمع ع - الأنحراف المعيارى للعينة
عم - الخطأ المعياري = ن – حجم العينة
فإذا كان فرض العدم هو
و الفرض البديل هو احد الحالات التالية
وبافتراض صحة فرض العدم فإن إحصاء الأختباريكون
اذا كان مستوى المعنوية ? , فإن القيمة الجدولية تكون
اذا كانت ( الاختبار من طرف واحد أيسر)
أو اذا كانت ( الاختبار من طرف واحد أيمن)
أو اذا كانت ( الاختبار من طرفين)
مثال 4 :د. محمد عثمان نوري صفحة (79):
أجرى بحث لمعرفة مستوى الدخل في المناطق الريفية ، وقد أخذت عينة من 25 أسرة وبقياس مستوى الدخل و جد أن متوسط الدخل للأسرة في العينة 8000 جنبة في العام و بإنحراف معيارى قدره 666 علما بأن متوسط الدخل حسب ما كشفته بيانات الإحصاء العام في المناطق الريفية يبلغ 6000 . هل يمكن القول أن تقديرات العينة للدخل تختلف إختلافا حقيقيا عن مستوى الدخل العام ( ) .
الحل :
أ – صياغة الفرض الأحصائي
فرض العدم هو و الفرض البديل
ب – مستوى المعنوية
جـ - إجراء الإختبار الإحصائي
نوع الإختبار : الإختبار من طرفين
نستخدم توزيع ت عند درجة حرية ن – 1 = 25 – 1 = 24
القيمة الجدولية = = = 1.711
إحصاء الإختبار =
د – إتخاذ القرار
نرفض فرض العدم ف. و نقبل الفرض البديل
أى أن مستوى الدخل حسب تقديرات العينة تختلف عن تقديرات الإحصاء العام.
مثال 5: من كتاب د.جلال الصياد صفحة 191
إذا كانت أعمار بطاريات السيارات المنتجة بواسطة أحد المصانع تتبع توزيعا طبيعيا ،ويدعي صاحب المصنع أن متوسط أعمار هذه البطاريات هو 36 شهراً . ولاختبار صحة هذا الإدعاء اختيرت عينة عشوائية حجمها عشر بطاريات وقيست أعمارها بالشهور فكان متوسط أعمارها هو 30.33 شهر بانحراف معياري 4.01 شهراً. فهل تدل هذه البيانات على أن متوسط أعمار البطاريات أقل من 36 شهراً( استخدمي مستوى معنوية ) ؟
الحل:
أ– صياغة الفرض الأحصائي:
ضد
ب – مستوى المعنوية
جـ - إجراء الإختبار الإحصائي
نوع الإختبار : الإختبار من طرف واحد (أيسر)
نستخدم توزيع ت عند درجة حرية ن – 1 = 10 – 1 = 9
القيمة الجدولية :
= - ت (0.01 , 9 ) = - 2.821
إحصاء الإختبار :
د – إتخاذ القرار:
بما أن قيمة إحصاء الاختبار وقعت في منطقة الرفض فإننا نرفض فرض العدم و نقبل الفرض البديل أي أن متوسط أعمار البطاريات المنتجة بواسطة المصنع أقل من 36 شهراً.
3 – اختبار ت(T) لمعنوية الفرق بين متوسطي مجتمعين للعينات المستقلة
T – Tests of significance for two independent samples
إذا كان لدينا مجتمعين لكل منهما توزيعا طبيعيا ولإختبار معنوية الفرق بين متوسطي المجتمعين
نختار عينتين عشوائيتين من المجتمعين و تكون العينتتان مستقلتان ( أى أن العينة المختارة من المجتمع الأول ليس لها تأثير على العينة المختارة من المجتمع الثاني)
فإذا كان متوسط المجتمع الأول مـ1 وتباينه عـ1 2
و كان متوسط المجتمع الثاني مـ2 و تباينه عـ2 2
إذا كان كل من عـ1 2 و عـ2 2 مجهولتان ولكنهما متساويتان أى أن عـ1 2 = عـ2 2 = عـ2
فإننا نريد إختبار
فرض العدم و الفرض البديل هو أحد الحالات
فإن إحصاء الإختبار هو
= ت بدرجات حرية ن1 + ن2 -2
حيث أن
م1 و عـ1 2 - متوسط وتباين العينة من المجتمع الأول مـ1 - متوسط المجتمع الأول
م2 و عـ2 2 - متوسط و تباين العينة من المجتمع الثاني مـ2 - متوسط المجتمع الثاني
ن1 – حجم العينة من المجتمع الأول ن2 – حجم العينة من المجتمع الثاني
عمج – تباين مجمع =
وبافتراض صحة فرض العدم ف. فإن إحصاء الإختبار يكون
اذا كان مستوى المعنوية ? , فإن القيمة الجدولية :
اذا كانت ( الاختبار من طرف واحد أيمن)
أو اذا كانت ( الاختبار من طرف واحد أيسر)
أو اذا كانت ( الاختبار من طرفين)
مثال 6 : د محمد عثمان نوري صفحة (95):
لمقارنة اتجاهات الذكور و الإناث فيما يتعلق بإتجاهاتهم نحو الإنفاق على السلع الكمالية صمم أستبيات يضم أسئلة و أعطيت درجات معينة بحيث كانت أعلى درجات تشير إلى الرغبة في إقتناء الأشياء الكمالية و أدنى الدرجات تشير إلى عدم الرغبة في شرائها.
أختيرت عينة عشوائية من 10 رجلا و 15 امرأة و بعد إختيارهم كان متوسط درجات الذكور 115 درجة بإنحراف معياري قدره 14(م1 = 115 , ع1 = 14) بينما متوسط درجات الإناث 125 بإنحراف معياري قدره 9 (م2 = 125 , ع2 = 9)
والمطلوب معرفة هل الإناث أكثر ميلا من الذكور في الإنفاق على الكماليات؟
الحل :
أ – صياغة الفرض الأحصائي
فرض العدم هو و الفرض البديل
ب – مستوى المعنوية
جـ - إجراء الإختبار الإحصائي
نوع الإختبار : الإختبار من طرف واحد ( الطرف الأيسر)
نستخدم توزيع ت عند درجة حرية ن1 + ن2 -2 = 10 +15 – 2 = 23
القيمة الجدولية = = ــ = ــ = ــ 1.319
عمج = = = 11.22
إحصاء الإختبار = = ــ 2.18
د – إتخاذ القرار
نرفض فرض العدم ف. و نقبل الفرض البديل ف1
أي أن الإناث أكثر ميلا من الذكور في الإنفاق على الكماليات