مبرهنات

مبرهنة // اية مجموعة X هي مجموعة جزئية من نفسها ((برهن ذلك)).
مبرهنة // المجموعة الخالية وحيدة .
البرهان: لنفرض ان هناك مجموعتين خاليتين 2? و1? فاذا كان 2? ? 1? فان ذلك يحتم وجود عنصر في 1? لا ينتمي الى 2? او وجود عنصر في 2? لا ينتمي الى 1? خلاف الفرض لان كلاهما مجموعة خالية وعلية فان 2?=1? .
مبرهنة // لتكن Aمجموعة ما , فان A ? ? البرهان : المطلوب برهانه :

X? ? X?A
سنبرهن على المعاكس الايجابي

X ? ? X?A

واضح ان ? ? X لان ? خالية
X ? ? X?A
اي ان : X ?A X ? ?
A ? ?
مبرهنة // اذا كانت X1 ? Y1 : و X2 ? Y2 فان :
Y1 ? Y2 ? X2 ? X1
البرهان حسب تعريف التقاطع والمجموعة الجزئية نحصل على :
X ? X1 ? X2 X ? X1 ? X ? X2
X ? Y1 ? X ? Y2
X ? Y1 ? Y2
وهكذا فان : Y1 ? Y2 ? X1 ? X2
الحل 11:
لنفرض ان: Ac ? X c( (Ac? X
X ? A
اي ان (Ac ( c ? A …….(1)
وبصورة معاكسة لنفرض ان : y ? A
y ? A y ? Ac
y ? (Ac )c
A ? (Ac )c ………(2)
ومن (1) و(2) ينتج ان A = (Ac )c

الحل 12: البرهان :
(A?B) – (A?C) = (A?B) ? (A?C)c
= (A?B) ? (Ac ? Cc)
=[( A?B) ? Ac] ? [( A?B) ? Cc]
=[( A? Ac) ? B] ? [( A?B) ? Cc]
= ( ?? B) ? [( A?B) ? Cc]
=? ? ( A?B) ? Cc
=( A?B) ? Cc
= A?(B? Cc)= A?(B-C)=الايمن
مبرهنة:
البرهان : اذا لم يكن ? X A مجموعة خالية فأنه يوجد :
(X,Y)? ? X A
X ? ?
وهذا يتناقض ومفهوم المجموعة الخالية وعليه ? X A= ? وبنفس الأسلوب نبرهن A X ? = ?

لتكن R علاقة على المجموعة A فان R متناظرة على A اذا وفقط اذا
R=R-1
لنفرض ان R=R-1 وان (X,Y) ? R
(X,Y) ? R-1
(X,Y) ? R
اذن R متناظرة
لنفرض ان R متناظرة على A فان
(X,Y) ? R (Y,X) ? R
(X,Y) ? R-1
R-1 R =
تمرين:
س1: لتكن A={a,b}
اكتب مجموعة القوة ?(A)
ادرس علاقة الاحتواء على ?(A)بيناً نوعها
س2: لتكن X مجموعة عوامل العدد 30ادرس علاقة (تقسيم) على هذه المجموعة .
س3: ادرس علاقة (يقسم) على مجموعة عوامل العدد 32
س4:برهن: A?(A?B) = A
?(3) A?B B A
? ? ? ?
? ?
?
?
?
?
? ?

?
?
?
?

(1)?(4) برهن ذلك دون استخدام الجدول
Bc ? Ac Q: A ? B
B……..(1)? X X ? Bc ?
A ? B فان
X ? Bc X ? A
وتصبح (1) X ? Bc X ? Ac
Bc ? Ac
Q: U = X = { 1,2,3} اذا كانت:
اكتب ?(X) ثم اكتب تتمات عناصرها
Q: اثبت Uمجموعة جزئية من X اذا كانت
1: X – X = ? 2: X – ? = X
3: ? – X = ? 4: X – U = ?
5: X – Y ? X Y ? Uحيث
P.f. X – Y = X ? Yc
X ? Yc ? X ولكن
X – Y ? X
Q: B – A ? Ac
P.f. Let X ? B – A X ? B ? X ? A
X ? B ? X ? Ac
Hence X ? Ac
Since X ? B – A X ? Ac
B – A ? Ac
Note : (B – A) ? A