المؤثران الرافع والخافض

رابعاً : المؤثران الرافع و الخافض و مستويات الطاقة
لنفرض أن لدينا دالة موجية هي ?_n و n هو مستوى طاقتها و أدخلنا عليها المؤثران الرافع و الخافض فإن :
a_+ ?_n=?(n+1) ?_(n+1)&a_- ?_n=?n ?_(n-1)
و لكالأمثلةالأربعة على ذلك :
?1 a_+ ?_0=?1 ?_1 ,?2 a_+ ?_3=?4 ?_4 ,?3 a_- ?_5=?5 ?_4 ,?(?4 a_- ?_0=0 جداً مهم)
أما إذا أدخلنا المؤثران كلاهما على الدالة الموجية فإن :
a_+ a_- ?_n=n ?_n&a_- a_+ ?_n=(n+1) ?_n
ومن الأمثلة على ذلك :
?1 a_+ a_- ?_0=0 ,?2 a_- a_+ ?_0=?_0 ,?3 a_+ a_- ?_3=3?_3 ,?4 a_- a_+ ?_6=7?_6 .

ســـؤال ؟أثبت أن طاقة المتذبذب التوافقي في المستوى الصفري E_0 (الطاقة الصفرية أو طاقة الصفر) هي (???2).
الحــــلنأخذ ?_0 و ندخل عليها مؤثر الطاقة الكلية :
H ??_0=??(a_+ a_-+1/( 2 )) ?_0=E_0 ?_0
? ??a_+ a_- ?_0+1/( 2 ) ???_0=E_0 ?_0 ?(a_+ a_- ?_0=0)
? E_0 ?_0=1/( 2 ) ???_0 ? E_0=1/( 2 ) ??

سؤال ؟ جد قيمة الطاقة الكلية لجسيم يتذبذب توافقياً في المستوى n .
الحــــلبنفس الطريقة السابقة و لكن نأخذ ?_n و ندخل عليها مؤثر الطاقة الكلية :
H ??_n=??(a_+ a_-+1/( 2 )) ?_n=E_n ?_n
? ??a_+ a_- ?_n+1/( 2 ) ???_n=E_n ?_n ?(a_+ a_- ?_n=n ?_n )
? E_n ?_n=n?? ?_n+1/( 2 ) ???_n ? ?(?(E_n=??(n+1/( 2 )) )) جداً مهم
خامساً : الدالة الموجية للمتذبذب التوافقي في المستوي الصفري?_0
نحن نعرف أن :
a_- ?_0=0 ? 1/?2m?? (? d/dx+m?x) ?_0=0
? (d?_0)/dx+m?x?_0=0 ? (d?_0)/dx=-m?/? x?_0 ? ??(d?_0)/?_0 =-m?/? ??xdx
?ln???_0 ?=-m?/? x^2/2+c ??(التكامل ثابت) ? ?_0 (x)=e^(- m?/2? x^2+c)=e^c.e^(- m?/2? x^2 )
?_0 (x)=Ae^(- m?/2? x^2 ) ?(e^c=A)