كثافة تيار الاحتمالية

كثافة تيار الإحتمالية Probability Current Density
من معادلة شرودنجر المعتمدة على الزمن :
-?^2/( 2m ) (?^2 ?(x,t))/??x?^2 +V_? ?(x,t)=i? ??(x,t)/?t …(1)
نجد مرافق المعادلة :
-?^2/( 2m ) (?^2 ?^* (x,t))/??x?^2 +V_? ?^* (x,t)=-i? (??^* (x,t))/?t …(2)
الآن نضرب المعادلة (1) في ?^* و المعادلة (2) في ? فينتج ما يلي :
-?^2/( 2m ) ?^* (?^2 ?)/??x?^2 +V_? ??^*=i??^* ??/?t
-?^2/( 2m ) ? (?^2 ?^*)/??x?^2 +V_? ?^* ?=-i?? (??^*)/?t
بطرح المعادلتين أعلاه :
-?^2/( 2m ) ?^* (?^2 ?)/??x?^2 +V_? ??^*-[-?^2/( 2m ) ? (?^2 ?^*)/??x?^2 +V_? ?^* ?]=i??^* ??/?t-[-i?? (??^*)/?t]
-?^2/( 2m ) ?^* (?^2 ?)/??x?^2 +V_? ??^*+?^2/( 2m ) ? (?^2 ?^*)/??x?^2 -V_? ?^* ?=i??^* ??/?t+i?? (??^*)/?t
-?^2/( 2m ) (?^* (?^2 ?)/??x?^2 -? (?^2 ?^*)/??x?^2 )=i?(?^* ??/?t+? (??^*)/?t) ?(?^* ??/?t+? (??^*)/?t=?/?t (?^* ?) )
-?/( 2im ) (?^* (?^2 ?)/??x?^2 -? (?^2 ?^*)/??x?^2 )=?/?t (?^* ?)
لاحظ مابين القوسين الكبيرين في المعادلة أعلاه نستخرج منه عامل مشترك هو ?/?x و كما يلي :
-?/?t (?^* ?)-?/( 2im ) ?/?x (?^* ??/?x-? (??^*)/?x)=0 ? ?/?t (?^* ?)+?/( 2im ) ?/?x (?^* ??/?x-? (??^*)/?x)=0
عند مقارنة المعادلة الأخيرة مع معادلة جريان السوائل التي هي :
?/?t p(x)+?/?x S_x=0
سوف نحصل على كثافة تيار الإحتمالية المتمثل بالرمز S_x وهو كما في المعادلة التالية :
S_x=?/( 2im ) (?^* ??/?x-? (??^*)/?x) and p(x)=?^* ?=|?|^2