معامل ارتباط بيرسون

معامل ارتباط بيرسون ( r ) :
يفترض بيرسون Pearson أن المتغيرين كميان، وأن العلاقة بينهما خطية (أي تأخذ شكل خط مستقيم).
ويرى بيرسون أن أفضل مقياس للارتباط بين متغيرين قد يختلفان في وحدات القياس و / أو في مستواهما العام (مثل الارتباط بين العمر والدخل) حيث يقاس العمر بالسنوات ويقاس الدخل بالعملة، كما أن المستوى العام للعمر – أي متوسط العمر – قد يساوي أربعين عاماً. فبينما المستوى العام – أي متوسط – الدخل الشهري قد يكون مئة آلف دينار مثلاً).
وبالتالي فإن أفضل مقياس للارتباط بين مثل هذين المتغيرين – حسب رأي بيرسون – هو عن طريق حساب انحرافات كل من المتغيرين عن وسطه الحسابي وقسمة هذه الانحرافات على الانحراف المعياري لكل منهما، فنحصل على ما يسمى بالوحدات المعيارية لكل متغير. ويكون معامل ارتباط بيرسون هو " متوسط حاصل ضرب هذه الوحدات المعيارية ". ومعامل الارتباط يكون بدون تمييز.
وبالرموز، إذا فرضنا أن المتغيرين هما Y , X وأن لدينا عدد n من أزواج القيم هي :
وأن الوسط الحسابي للمتغير X هو وللمتغير Y هو وأن الانحراف المعياري للمتغير X هو Sx وللمتغير Y هو Sy فإن معامل بيرسون للارتباط الخطي والذي يرمز له بالرمز r هو :
ونلاحظ من تعريف معامل ارتباط بيرسون أنه يجب أولاً حساب كل من ، ثم حساب لكل قيمة من قيم X، وحساب لكل قيمة من قيم y ثم ضرب في لكل زوج من القيم وأخذ مجموع حاصل الضرب ثم القسمة على n. إن هذه العملية كما نرى تستغرق وقتاً طويلاً ونحتاج عمليات حسابية معقدة، لذلك فإنه عادة لا تستخدم الصيغة السابقة في حساب معامل الارتباط وتستخدم بدلاً منها الصيغة المختصرة التالية والتي تعطي بطبيعة الحال النتائج نفسها : -
وكل ما نحتاجه لحساب معامل الارتباط لبيرسون بالصيغة المختصرة
رقم (2) هو حساب : أي مجموع مربعات قيم x ومجموع مربعات قيم y ومجموع حاصل ضربهما بعد معرفة ، ، n (حيث n هي عدد أزواج القيم).
مثال (1) :
البيانات التالية تمثل درجات ثمانية طلاب في اختبار مادتين ، والمطلوب حساب معامل ارتباط بيرسون لدرجات المادتين.
درجات المادة الاولى 35 47 51 38 43 29 32 25 : x
درجات المادة الثانية 50 100 62 40 35 15 18 10 : y
الحل :
لحساب معامل ارتباط بيرسون يلزم حساب المجاميع:
لذلك يتم تنظيم حساب هذه المجاميع كما في الجدول التالي:
Y2 x2 X y Y الثانية x الاولى
100 625 250 10 25
324 1024 576 18 32
225 841 435 15 29
1225 1849 1505 35 43
1600 1444 1520 40 38
3844 2601 3162 62 51
10000 2209 4700 100 47
2500 1225 1750 50 35
19818 11818 13898 330 300
ثم نطبق في الصيغة المختصرة رقم (2) لمعامل الارتباط حيث n = 8 :
أي أن معامل ارتباط بيرسون بين المادتين يساوي 0.81 وهو ارتباط طردي (لأن إشارته موجبة) وقوى (لأنه قريب من الواحد الصحيح). بمعنى أخر، إن هناك علاقة طردية قوية بين المادتين 81 %.