مبرهنات

مبرهنة : لتكن كل من A , B مجموعة فان :
a: A ? B ? A , A ? B ? B
b: A ? B A ? B = A
برهان a: لكي نبرهن ان A ? B ? A
نفرض ان X ? A ? B
الان :
X ? A ? B X ? A ? X ? B
X ? A
أي ان : A ? B ? A
وبنفس الطريقة نبرهن على A ? B ? B
برهان b : نفرض ان A ? B
وان: X ? A
نفرض ان X ? A x ? B
X ? A ? x ? B
أي ان :
X ? A X ? A ? X ? B
X ? A ? B
A ? A ? B
A ? B ? A
A ? B = A
وبصورة معاكسة نفرض ان A ? B = A
A ? B ? B
A ? B
مبرهنة : لتكن A اية مجموعة فان :
a: A ? ? = ? b: A ? U = A
: تمثل المجموعة الشاملة (الكلية) U
برهان a:
? ? A
? ? A =?
A ? U
A ? U = A
مبرهنه: لتكن كل A , B مجموعة فان :
a: A ? A U B ? B ? A U B
b: A ? B A U B = B
برهان a:
A ? A U B
نفرض ان : X ? A
X ? A X ? A ? X ? B
X ? A U B
A ? A U B
وبصورة مماثلة نبرهن ان B ? A U B

برهان b:
نفرض ان: A ? B
وان: X ? A U B
الان X ? A U B X ? A ? X ? B
X ? B ? X ? B
X ? B
A U B ? B
B ? A U B
A U B = B
وبصورة معاكسة نبرهن ان :
A U B = B
aمن الفرع A ? A U B
A ? B
اذا كانت(A ,B) مجموعة فبرهن على ان : Q1
A – B = Bc - Ac
البرهان نفرض ان :
X ? A – B
X ? A – B X ? A ? X ? B
X ? Ac ? X ? Bc
X ? Bc ? X ? Ac
X ? Bc - Ac
A – B ? Bc - Ac …………(1)
وبصورة مماثلة نبرهن على ان :
Bc - Ac ? A – B ………...(2)
ومن (1) و(2) نستنتج على
A – B ? Bc - Ac
اثبت ان = ? Q 2: A ? Ac
البرهان : حسب تعريف الفرق بين مجموعتين (الفضلة)
A ? Ac = A – A
اي ان A ? Ac = [ X I X ? A ? X ? A ]
ولكنه لا يوجد عنصر X متمم A وفي الوقت نفسه غير موجود في A لذا :
A ? Ac = ?
Q 3: اية مجموعة فان A لتكن
a: A ? ? = ? , b: A ? U = A
هي المجموعة الشاملة ( الكلية) Uحيث
aبرهان : ? ? A
? ? A = ?
bبرهان : A ? U
A ? U = A
لتكن كل من (A ,B) مجموعة فبرهن على ان Q 4:
a: A ? A U B ? B ? A U B
b: A ? B A U B = B
aبرهان : A ? A U B كي نبرهن ان :
X ? A : نفرض ان
X ? A X ? A ? X ? B
X ? A U B
A U B A ?
وبصورة مماثلة نبرهن ان : A U B B ?
bبرهان : A ? B نفرض ان :
X ? A U B : و ان
X ? A U B X ? A ? X ? B
X ? B ? X ? B
X ? B
B A U B ?