الجبر الخطي والجبر التركيبي

قسم العلوم العامة
الثاني فيزياء- المادة/ الجبر الخطي
(( تمارين ))
س1/ عرف واعط مثالاً كل مما يأتي:
مبدلة المصفوفة ، المصفوفة المتماثلة ، المصفوفة الملتوية التماثل ، مرافقة المصفوفة ، مبدلة المرافقة ، المصفوفة الهرميتية ، معكوس المصفوفة.
س2/ برهن: اذا كان لمصفوفة معكوسة فتكون لها هناك معكوسة واحدة فقط.
س3/ اذا كانت اوجد adj M

س4/ برهن: I M adj M= adj M .M = /M/

س5/ اوجد قيمة محددة المصفوفة
أ‌- باستخدام طريقة المحيدد الاول.
ب‌- ياستخدام طريقة الاسهم.

س6/ دون فك المحددة بين ان محددة كلا من المصفوفتين الاتيتين = صفر


س7/ حلل المحدد الى عوامله

س8/ حل المعادلة الاتية: = 0
س9/ جد قيمة محددة A دون فكها اذا كانت:


س10/ أي من المصفوفات الاتية لها معكوسة؟ تفحص ذلك



س11/ اوجد معكوسة المصفوفات الاتية:
a.

س12/ هل ان محددة المجموع لمصفوفتين تساوي مجموع محددتي المصفوفتين؟ تفحص ذلك.




مدرس المادة
عدي صبري عبد الرزاق


(( بسمه تعالى ))
اسئلة حول المحددات، معكوس المصفوفة، طرق حل المعادلات الخطية.
س1/ جد معكوس كل من المصفوفات الآتية بطريقة المرافقة.



3.
س2/ بين ان المصفوفة الاتية متعامدة

س3/ ما هو الشرط الذي يجعل المصفوفة الاتية متعامدة؟


س4/ اذا كانت A مصفوفة درجتها n لها معكوس فان:
اثبت ذلك
س5/ تفحص هل ان المصفوفة A حيث:

تحقق الشرط I = ؟

س6/ دون فك المحدد. اثبت ان:


س7/ برهن ان:


س8/ حل المعادلات الخطية الاتية بطريقتي كرايمر والمصفوفات
. a
2x+4y+z=-11
-x+3y-2z=-16
2x-3y+5z=21
b.
2x+3y=7
x-3y=-1

س9/ حل المعادلة الاتية:




((القيم المميزة والمتجهات المميزة))
تعريف: لتكن A مصفوفة من الدرجة n يسمى العدد الحقيقي ? قيمة مميزة لمصفوفة A اذا وجد متجه غير صفري X بحيث ان AX=?X . يسمى X المتجه المميز لـ A.
ملاحظة: للنظام ( ? I – A)X =0 حل غير تافه اذا وفقط اذا كانت المصفوفة ?I-A ليس لها معكوس.
حيث ان I هي مصفوفة الوحدة .
أي اذا وفقط اذا كان det(?I – A) =0 فاذا كان ? مجهول فان det(?I – A) عبارة عن كثيرة حدود في المجهول ? تسمى كثيرة الحدود المميزة للمصفوفة A .
ولحساب القيم والمتجهات المميزة لمصفوفة مربعة A نتبع ما يلي:
أولاً: نحسب كثيرة الحدود المميزة h(?) = det (?I- A)
ثانيا: نحسب القيم المميزة للمصفوفة A وهي عبارة عن حلول المعادلة المميزة h(?)=0
ثالثاً: لكل قيمة مميزة ?i نحسب المتجه المميز المقابل لها وذلك بحل نظام المعادلات المتجانس (?iI-A) X=0
مثال1/ لتكن
أذن:

ومنها نجد:
(?-1)( ?-4)+2=?2-5?+6=0
ونحصل على ?1= 2 ?2 =3
الان نعين المتجه المميز للقيمة?1=2 فنعوض عنها في (?I-A) X=0
ونحصل على

أي
وهذا يكافئ
ومنه X1+X2=0
أي ان X1=-X2
اذن للنظام عدد لانهائي من الحلول ولذا فانه يوجد عدد لانهائي من المتجهات المميزة المقابلة للقيمة ?1=2
فاذا وصفنا X2=1 فان X1=-1 ونحصل على X=
وبنفس الطريقة نجد ان X= مقابل القيمة ?2= 3(( جرب ذلك ))
مثال2/ عين القيم والمتجهات المميزة للمصفوفة

( الحل بنفس الاسلوب للمثال الاول)
مبرهنة/ اذا كانت A مصفوفة من الدرجة n وكانت ?1,…. , ?k هي قيم A المميزة المختلفة وكانت X1,….,Xk هي المتجهات المميزة المقابلة للقيم المميزة فان
مستقلة خطياً نبرهنها باستخدام الاستقراء الرياضي على k .
س/ هل ان معكوس المبرهنة اعلاه صحيح؟ بين ذلك.
نتيجة: لتكن A مصفوفة من الدرجة n ، إذا كانت جميع القيم المميزة لها مختلفة فانه يوجد اساس للفضاء Rn عناصره متجهات مميزة.
البرهان: واجب.
مثال3/ في المثال السابق كان للمصفوفة A قيمتان ?1=2 و ?2= 3 وان متجهان مميزان مقابلان لهما. لذا فان
اساس للفضاء R2


تمرين/
س1/ جد قيم المميزة للمصفوفات الاتية:



س2/ جد المتجهات المميزة المقابلة للقيم المميزة للمصفوفات في السؤال السابق.

















(( التركيب الخطي ))
تعريف: يدعى المتجه U تركيب خطي من المتجهات V1,V2,….Vr اذا كان ممكن كتابته بالشكل
U= K1 V1 + K2K2 +……..+Kr Vr
حيث ان K1 , K2, ……, Kr اعداد ثابتة.
مثال 1/ اذا كان U1= (6,4,2) , U2 =(1,2,-1) متجهين بين هل ان المتجه V= (9,2,7) تركيب خطي منهما؟
الحل/ كي يكون V تركيباً خطياً من U1, U2 يجب وجود اعداد K 1 , K2 (ثابتة) بحيث:
V= K1 U1 +K2 U2
أي : (9,2,7) = K1 (6,4,2) + K2 (1,2,-1) ومنها
9= 6K1 + K2………………(1)
2= 4K1 + 2K2 …………….(2)
7= 2K1 – K2 ………………(3)
بجمع (1) و(3) نحصل على K1=2
وبالتعويض في المعادلة (1) K3=-3
V = 2 U1 – 3 U2 ?
تركيبة خطية
تمرين//
س1 / اذا كانت المتجهات: V1= (1,2,1,-1) , V2 =(1,0,2,-3) , V3 =(1,1,0,-2) من R4 . بين ان المتجه V= (2,1,5,-5) تركيب خطي من V1, V2, V3 .
س2/ اذا كان V1 = (1,2,-1) , V2 =( 1,0,-1) متجهين من R3 . هل ان المتجه V=(1,0,2) تركيب خطي من V1, V2 ؟ بين ذلك.

تعريف: اذا كانت S= { V1, V2,….,Vr} مجموعة من المتجهات فان المعادلة

يوجد لها على الاقل حل واحد هو {Ki=0} , i=1,2,…., r
فاذا كان الحل وحيد فان S تدعى مجموعة مستقلة خطياً واما اذا كانت هناك حلول اخرى فان S تدعى مجموعة غير مستقلة خطياً (مرتبطة خطياً).

مثال2/ المتجهات K= ( 0,0,1) , J= (0,1,0) , i= (1,0,0) المعادلة
K1(1,0,0)+ K2(0,1,0) + K3(0,0,1) =0 تكون تكافئ لـ (K1, K2, K3) = (0,0,0)
لذا فأن S= { I, J , K } مستقلة خطياً.
مثال3/ بين ان المتجهات V1= (1,1,0) , V2= (3,1,3) , V3= (5,3,3) معتمدة خطياً.
لنفرض ان K1, K2 , K3 ? R وان K1 V1 + K V2 + KV2 =0
أي إن K1( 1,1,1,0) + K2(3,1,3) + K3(5,3,3) =(0,0,0)
ومنها نحصل على:
K1 + 3K2 + 5K3 = 0
K1 + K2 + 3K3 = 0
0 + 3K2 + 3K3 = 0
وبحل هذه المنظومة من المعادلات نحصل على :
K1 = -2K3 , K2 = -K3
واذا وضعنا K3 = 1 ينتج ان
K1 = -2 , K2 = -1
? المتجهات مرتبطة خطياً.
ملاحظة:// ان محددة مصفوفة معاملات نظام المعادلات المتجانسة اعلاه = صفراً ( تحقق منها) وعليه فان للنظام عدد غير منته من الحلول.



تمرين //
س1/ بين فيما يلي ان المتجهات الاتية مرتبطة خطياً.
a. V1= (1,2) , V2 = (-3,-6)
b. V1= (2,1) , V2 =( 6,3)

س2/ هل ان المتجهات الاتية مستقلة خطياً أم لا؟ تفحص ذلك.
V1= (1,-2,3) , V2= (5,6,-1) , V3= (3,3,1)

((اسئلة متنوعة))
س1/ بين ان المتجه V= (7,-2,2) تركيب خطي للمتجهات
V1= (1,-1,0) , V2= (2,0,1) , V3=(2,0,1)

س2/ بين هل بالامكان كتابة المتجه V=( 3,-1,4)?R3 كتركيب خطي للمتجهات
V1=(1,-1,0) , V2= (0,1,1) V3=(3,-5,-2)

س3/ لديك الدوال f(x)=x2+x , g(x) =x+2 , k(x)= x3 , h(x)= 3x2+2x-2
في فضاء المتجهات ? ) F(-?, بين ان h(x) تركيب خطي لـ g(x), f(x) . هل ان
k(x) تركيباً خطياً للدالتين f(x), g (x) ؟

س4/ بين هل ان: Cos(3+x) تركيب خطي لكلاً من Sin x, Cosx



(( التركيب الخطي ))
تعريف: يدعى المتجه U تركيب خطي من المتجهات V1,V2,….Vr اذا كان ممكن كتابته بالشكل
U= K1 V1 + K2K2 +……..+Kr Vr
حيث ان K1 , K2, ……, Kr اعداد ثابتة.
مثال 1/ اذا كان U1= (6,4,2) , U2 =(1,2,-1) متجهين بين هل ان المتجه V= (9,2,7) تركيب خطي منهما؟
الحل/ كي يكون V تركيباً خطياً من U1, U2 يجب وجود اعداد K 1 , K2 (ثابتة) بحيث:
V= K1 U1 +K2 U2
أي : (9,2,7) = K1 (6,4,2) + K2 (1,2,-1) ومنها
9= 6K1 + K2………………(1)
2= 4K1 + 2K2 …………….(2)
7= 2K1 – K2 ………………(3)
بجمع (1) و(3) نحصل على K1=2
وبالتعويض في المعادلة (1) K3=-3
V = 2 U1 – 3 U2 \
تركيبة خطية

تمرين//
س1 / اذا كانت المتجهات: V1= (1,2,1,-1) , V2 =(1,0,2,-3) , V3 =(1,1,0,-2) من R4 . بين ان المتجه V= (2,1,5,-5) تركيب خطي من V1, V2, V3 .

س2/ اذا كان V1 = (1,2,-1) , V2 =( 1,0,-1) متجهين من R3 . هل ان المتجه V=(1,0,2) تركيب خطي من V1, V2 ؟ بين ذلك.


تعريف: اذا كانت S= { V1, V2,….,Vr} مجموعة من المتجهات فان المعادلة

يوجد لها على الاقل حل واحد هو {Ki=0} , i=1,2,…., r
فاذا كان الحل وحيد فان S تدعى مجموعة مستقلة خطياً واما اذا كانت هناك حلول اخرى فان S تدعى مجموعة غير مستقلة خطياً (مرتبطة خطياً).

مثال2/ المتجهات K= ( 0,0,1) , J= (0,1,0) , i= (1,0,0) المعادلة
K1(1,0,0)+ K2(0,1,0) + K3(0,0,1) =0 تكون تكافئ لـ (K1, K2, K3) = (0,0,0)
لذا فأن S= { I, J , K } مستقلة خطياً.
مثال3/ بين ان المتجهات V1= (1,1,0) , V2= (3,1,3) , V3= (5,3,3) معتمدة خطياً.
لنفرض ان K1, K2 , K3 I R وان K1 V1 + K V2 + KV2 =0
أي إن K1( 1,1,1,0) + K2(3,1,3) + K3(5,3,3) =(0,0,0)
ومنها نحصل على:
K1 + 3K2 + 5K3 = 0
K1 + K2 + 3K3 = 0
0 + 3K2 + 3K3 = 0
وبحل هذه المنظومة من المعادلات نحصل على :
K1 = -2K3 , K2 = -K3
واذا وضعنا K3 = 1 ينتج ان
K1 = -2 , K2 = -1
\ المتجهات مرتبطة خطياً.
ملاحظة:// ان محددة مصفوفة معاملات نظام المعادلات المتجانسة اعلاه = صفراً ( تحقق منها) وعليه فان للنظام عدد غير منته من الحلول.

تمرين //
س1/ بين فيما يلي ان المتجهات الاتية مرتبطة خطياً.
a. V1= (1,2) , V2 = (-3,-6)
b. V1= (2,1) , V2 =( 6,3)

س2/ هل ان المتجهات الاتية مستقلة خطياً أم لا؟ تفحص ذلك.
V1= (1,-2,3) , V2= (5,6,-1) , V3= (3,3,1)

((اسئلة متنوعة))
س1/ بين ان المتجه V= (7,-2,2) تركيب خطي للمتجهات
V1= (1,-1,0) , V2= (2,0,1) , V3=(2,0,1)

س2/ بين هل بالامكان كتابة المتجه V=( 3,-1,4)IR3 كتركيب خطي للمتجهات
V1=(1,-1,0) , V2= (0,1,1) V3=(3,-5,-2)

س3/ لديك الدوال f(x)=x2+x , g(x) =x+2 , k(x)= x3 , h(x)= 3x2+2x-2
في فضاء المتجهات ? ) F(-?, بين ان h(x) تركيب خطي لـ g(x), f(x) . هل ان
k(x) تركيباً خطياً للدالتين f(x), g (x) ؟

س4/ بين هل ان: Cos(3+x) تركيب خطي لكلاً من Sin x, Cosx