جبر العبارات

التعاريف:
ملاحظة : اذا كانت P عبارة فأن نفيها يكتب ~ P
1- التتولوجي (تحصيل حاصل) : اذا كانت عبارة مركبة صادقة بغض النظر عن قيمة صدق مكوناتها فتسمى (تحصيل حاصل )
مثال العبارة ~ P) P ?) تحصيل حاصل.
2- التناقض : اذا كانت عبارة مركبة كاذبة بغض النضر عن قيم صدق مكوناتها فإنها تدعى تناقضاَ
مثال العبارة ~ P) P ?) تناقض.
3- الاقتضاء المنطقي : لتكن كل من P / ? عبارة يقال ان العبارة P تقتضي منطقياً العبارة ? ( او ? تستنتج منطقياً من P ) اذا وفقط اذا كانت العبارة ?
? P تتولوجي ويعبر عن ذلك بـ ? P
4- العبارة P ? تدعي معكوس (inverse) العبارة ? P مع ملاحظة ان العبارة ومعكوسها غير متكافئتين بصورة عامة اي ان (P ?)? (? P )
5- التكافؤ المنطقي لتكن كل من P وq عبارة يقال ان العبارة P تكافئ العبارة q منطقياً اذا وفقط اذا كان جدول الصدق P هو نفسه جد\ول صدق q ونكتب كذلك كالاتي p ? q .
6- العبارة ~P ?~ تعني المعاكس الايجابي (contra positive) للعبارة P ? لاحظ ان (NP ?N)? Q P (متكافئتان منطقياً)
وان : ~P ? ~ ? ? P ? ~? ? P








قوانين جبر العبارات : يمكن برهنتها بعمل جداول قيم الصدق للعبارات :


1- قانون اللانمو لتكن p عبارة فان :
1- P ? P? P
2- P ? P? P

2- قانون الابدال لتكن كلاً من q , p عبارة فان :

1- P ? P ? q ? p
2- p ? q ? q ? p
3- قانون التجميع :لتكن r,q,p ثلاث عبارات فان :
1- p ? (q ? r ) ? (p ? q) ? r
2- p ? (q ? r ) ? (p ? q) ? r
4- التوزيع : لتكن كل من r , q , p عبارة فان :
1- p ? (q ? r ) ? (p ? q) ? (p ? r)
2- p ? (q ? r ) ? (p ? q) ? (p ? r)
5- قانون دي مورغان لتكن q , p عبارتين فان:

1- ~ (p ? q ) ? ~p ? ~q
2- ~ (q ? r ) ? ~p ? ~q
6- الامتصاص لتكن كلاً q , p عبارة فان :

1- p ? (p ? q ) ? p
2- p ? (q ? q ) ? p

7- الذاتية : لتكن p عبارة ما فان :
1- p ? O ? O
2- p ? I ? p
3- p ? O ? p
4- p ? I ? I


8- المتممة: لتكن P عبارة فأن

1- ~(~p ) ? P
2- p ? ~P ? O
3- p ? ~P ? I
4- ~ I ? O , ~O ? I




تمرين:
1- اثبت ان العبارة الآتية تحصيل حاصل : (p q)?~ (p q)
2- اثبت ان العبارة الآتية تناقض:[ (p q)?~ p ]?~p