السرعة الآنية و التعجيل الآني للمهتز التوافقي البسيط

فيزياء الصوت و الحركة الموجية

المرحلة الثانية علوم عامة – فيزياء د- محمد هادي الشمري
Uالمحاضرة السادسة :-
السرعة الآنية و التعجيل الآني للمهتز التوافقي البسيط

وجدنا أن الإزاحة الآنية للمهتز التوافقي البسيط هي
X = C sin ( w0t + ? )
و السرعة الآنية يمكن إيجادها من خلال اخذ مشتقة الإزاحة بالنسبة للزمن أذن
V = ( dx / dt ) = C w0 cos (w0t + ? ) ------------------------- *

و من معادلة 15 لدينا
------------------------------------- ** X = C sin ( w0t + ? )

و من معادلة * نحصل على
( V / cw0 ) = cos ( w0t + ? ) --------------------------- ***


و بجمع المعادلتين ** و *** و تربيعهما نحصل على
( X / c )2 + ( V / cw0 )2 =1
حيث ان
[sin ( w0t + ? )]2 + [cos ( w0t + ? )]2 = 1
آذن
H . W
-
-
-
V = w0 ( c2 – x2 )1/2 ------------------------------------ 16
يلاحظ من المعادلة أعلاه أن السرعة الآنية للجسيم المهتز تصبح صفرا عندما يصل أقصى إزاحة من موضع التوازن أي عندما تكون X = C و تكون السرعة في ذروتها عندما يمر الجسيم في نقطة توازنه أي عندما تكون X = 0 .
و يمكن الحصول على التعجيل الآني للجسيم المهتز بأخذ المشتقة الثانية للإزاحة بالنسبة للزمن فإذا رمزنا للتعجيل الآني بالحرف a فان
A = ( d2X / dt2 ) = - C w02 sin ( w0 t + ? )

حيث أن C w02 يمثل سعة التعجيل أي أقصى قيمة للتعجيل و يرمز له بالرمز a0 فتصبح المعادلة الأخيرة كالأتي
a = a0 sin ( w0t + ? ) ----------------------------------- 17
ان المعادلة 17 هي نفس معادلة الحركة التوافقية البسيطة فإذا عوضنا بدل Cw0 و بدل المقدار C sin ( w0 + ? ) بالمقدار X ينتج
a = - w0 X
يلاحظ أن التعجيل يكون في ذروته عندما الجسيم يكون في أقصى إزاحة له عن موضع التوازن بينما يكون صفرا عندما يمر في موضع التوازن.






طاقة المهتز التوافقي البسيط

أذا فرضنا أن المجموع الكلي للطاقة الميكانيكية للمهتز في أية لحظة زمنية هو مقدار ثابت و يساوي E فان
Energy = Kinetic Energy + Potential Energy
E = K.E + P.E ---------------------------------------------- 1
أو
E =EK + EP
حيث أن
EK الطاقة الحركية الآنية التي تكتسبها كتلة الجسيم المهتز بفضل مرونته.
EP الطاقة الكامنة الآنية التي يختزنها النابض الحلزوني .

أن الطاقة الحركية الآنية في الزمن t تعطى بالمعادلة التالية

حيث m كتلة الجسيم و v تمثل السرعة الآنية في الزمن t.
و أذا كانت الإزاحة الآنية للجسيم من موضع توازنه في نفس اللحظة t هي x فان الطاقة الكامنة التي يختزنها النابض بفضل هذا الوضع تساوي مقدار الشغل اللازم لأحداث الاستطالة x في طول النابض أي أن
EP = ?0X ( F . dx)
لكن القوة الخارجية اللازمة لأحداث الاستطالة x في طول النابض هي
F = k x

اذن
EP = ?0X (k x . dx) = 1/2 kx2 ------------------------------------ 3
و بتعويض المعادلات 3 و 2 في 1 نحصل على
E = 1/2 m x2 + 1/2 k x2

من هنا نستنتج انه عندما لا يكون هنالك تبديد أو فقدان في الطاقة فان الطاقة الميكانيكية الكلية للمهتز الحر تساوي مجموع الطاقتين الحركية و الكامنة.
أن ذروة الطاقة الكامنة EP max تحدث عندما x = ± C أي أن
EP max = 1/2 k C2
و أن ذروة الطاقة الحركية تحدث عندما X = w0 C أي أن
EK max = 1/2 m ( w0 C2 ) = 1/2 m C2 w02 w02 = k / m
EK max = 1/2 k C2 أذن
و هذا يعني أن
EP max = E = EK max
E = 1/2 k C2 = 1/2 m C2 w02