مقاييس النزعة المركزية

مقايسس النزعة المركزية
1ـ الوسط الحسابي :هو مجموع قيم مجموعة من الدرجات مقسوما على عدد تلك القيم. ومعنى هذا ان الوسط الحسابي عبارة عن تلخيص لهذه القيم ويكون ناتجها رقم واحد يعطي انطباع عام عن الحالة التي قيد الدراسة،ويمكن كتابة هذه العلاقة على النحو الآتي:
الوسط الحسابي=مجموع القيم
                  عدد الدرجات 
او نعبر عن الوسط الحسابي با لرمزس=مج س/ن ،لذلك هناك عدة حالات للوسط الحسابي منها:
أـ الوسط الحسابي للبيانات غير المبوبة
مثال1/اوجد قيمة الوسط الحسابي للارقام الاتية(8،3،5،12،10)
س=مج( س1+س2+س3+س4+س5)/ن
س=12+5+3+8+10/5=38/5=7.6
مثال2/أوجد الوسط الحسابي للبيانات الاتية والتي تمثل درجات(25)طالبا في مادة الفيزياء، وكما مبين في الجدول ادناه
س           ك س×ك
50          4 50×4=200
60         5 60×5=300
     
70 6 70×6=420
85 4 85×4=340
95 2 95×2=190
يجب ان نضرب المتغير في التكرار المقابل له كما في الجدول اعلاه س=مج س×ك/مج ك=200+300+420+340+190/21=69.04
ب ـ ايجاد الوسط الحسابي في حالة وجود فئات وتكرارات نستخدم القانون الاتي:
س=مج م س×ك/مج ك كما في المثال الاتي:اوجد قيمة الوسط الحسابي في الجدول ادناه
الفئات(س) التكرارات(ك)
37ـ39 7
40ـ42 2
43ـ45 4
46ـ48 2
عند حساب الوسط الحسابي لمثل هذه الاسئلة يجب ان نستخرج مراكز الفئات باستخدام القانون الاتي:
مركز الفئة(م س)=الحد الادنى للفئة +الحد الاعلى للفئة/2 .لذلك يكون الحل كلاتي:
مركز الفئة (م س) التكرار(ك) م س×ك
38 7 38×7=266
41 2 41×2=82
44 4 44×4=176
47 2 47×2=94
س= مج (م س ×ك)/مج ك
=266+82+176+94/15=618/15=41.2
ج ـ عند حساب الوسط الحسابي بطريقة الاوزان الفرضية يتوجب علينا ان نحدد قيمة الوسط الحسابي الفرضي(التي تكون اختيارية من قبل الباحث ونرمز له س ف) ونطرح قيمة الوسط الحسابي الفرضي من المتغيرات(في حالة وجود متغيرات فقط) مثلا ايجاد الوسط الحسابي لاوزان ثلاثة اطفال بطريقة الاوساط الفرضية(الانحرافات)
التسلسل(ت) الوزن(و) و- س ف
1 25 25-20=5
2 32 32-20=12
3 20       20-20=0
نختار مثلا (20)لتكون وسط حسابي فرضي(س ف) ونطرحها من الاوزان كما مبين في الجدول اعلاه
الوسط الحسابي(س)=س ف+(25-20)+(32-20)+(20-20)/3=20+17/3=12.3
ـ اما في حالة وجود متغيرات وتكرارات ايضا نحدد قيمة الوسط الحسابي الفرضي ونطرحها من المتغيرات ثم نضرب النتيجة التي نحصل عليها في التكرارات المقابلة لها ونجمع النتائج التي نحصل عليهامن هذه العملية مع الوسط الحسابي الفرضي ونقسم على المجموع الكلي للتكرارات .كما عملنا في المثال السابق.
ـ وفي حالة وجود فئات يكون التطبيق كما في المثال الاتي:جد الوسط الحسابي بطريقة الاوزان الفرضية لدرجات (100) في مادة الرياضيات الحديثة
س ك م س م س- س ف=ح ح×ك
60ـ62 8 61 61-67=-6 8×-6=-48
63ـ65 18 64 64-67=-3 18×-3=-54
66ـ 68 42 67 67-67=0 42×0=0
69ـ 71 27 70 70-67=3 27×3=81
72ـ 74  5 73 73-67=6 5×6=30
خطوات الحل/نحدد مراكز الفئات ـ نحدد( س ف وليكن 67) ـ نطرح س ف من مراكز الفئات (م س)ـ وبعدها نضر ب النتائج مع التكرارات.
س= س ف +مج (ح×ك)/مج(ك) =67+9/100=67.09
2ـالوسيط: هو النقطة او الدرجة في التوزيع التي تكون نسبة (50%) من الدرجات تقع اعلى منها ونسبة (50%)من الدرجات تقع تحتها،والشرط الاساسي في الوسيط ان الدرجات( المتغيرات) تكون مرتبة ترتيبا تصاعديا او تنازليا،فمثلا لو كانت لدينا الدرجات(3،8،18،21،25،29،32) وهي مرتبة ترتيبا تصاعديا ،فان الدرجة (21)هي الوسيط،ونلاحظ ان عدد الدرجات فردي ،فلو كان عدد الدرجات زوجي واضفنا رقم (37) الى الدرجات السابقة لكان الوسيط هو جمع الدرجتين اللتين تتوسط الدرجات وقسمة المجموع على (2) ،لذلك
 الوسيط =21+25/2= 23
ـ كيفية حساب الوسيط في حالة وجود تكرارات :
1 ـ نحسب التكرار المتجمع الصاعد ونرمز له با لرمز(ك م ص):وهو عدد التلا ميذ الذين حصلو على تلك الدرجة او على درجة اقل منها
2 ـ التكرار المتجمع النازل ونرمز له با لرمز(ك م ن):هو عدد التلاميذ الذين حصلو على تلك الدرجة او على درجة اعلى منها ،لذلك يكون قانون الوسيط في حالتين
أـ الوسيط=أ+ن/2-ك1/ك2×ل ـ نستخدمه في حالة حساب الوسيط باستخدام التكرار المتجمع الصاعد
حيث أ= الحد الادنى للفئة الوسيطية
ن= مجموع التكرارات الكلي
ك1=التكرار المتجمع الصاعد للفئة السابقة للفئة الوسيطية
ك2= تكرار الفئة الوسيطية
ل=طول الفئة ،الذي هو المسافة الفاصلة بين الحد الاعلى والحد الادنى +1
ب ـ الوسيط= ب – ن/2- ك3 /ك2×ل ـ نستخدمه في حالة حساب الوسيط باستخدام التكرار المتجمع النازل
حيث ب = الحد الاعلى للفئة الوسيطية
ن= مجموع التكرارات الكلي
ك1=التكرار المتجمع النازل للفئة اللاحقة للفئة الوسيطية
ك2= تكرار الفئة الوسيطية
ل=طول الفئة ،الذي هو المسافة الفاصلة بين الحد الاعلى والحد الادنى +1
ملاحظة /نحسب قيمة الدرجة الوسيطية من خلال قسمة المجموع الكلي للتكرارات/2
ـ مثال/اجري اختبار في اللغة العربية على (50)طالبا وكما مبين في الجدول ادناه
الفئات (س)          التكرارات (ك)         ك م ص                     ك م ن
75ـ 79                    2                      2                            50
80ـ  84                   3                       5                             4 
85ـ 89                    3                       8                             45
90ـ 94                    5                      13                           42 
95ـ 99                   8                       21                          37
100ـ 104                12                    33                           29  105ـ 109               7                        40                          17
110ـ 114               5                       45                           10
115ـ 119               3                       48                           5
120ـ 124               2                     50                             2
قيمة الدرجة الوسيطية =ن/2=50/2= 25
اذن رتبة الدرجة الوسيطية مقابلة للفئة (100ـ 104لوسيط = أ+ن/2- ك1/ك2×ل= 99.5+ 50/2- 21/12×5= 99.5+0.33×5=101.15
3 ـ المنوال :هو القيمة الاكثر تكرارا او شيوعا بين القيم ،مثلا اذا كانت لدينا مجموعة من القيم(8.،7،5،8،9،10،8،7،8) فان المنوال هو
واذا لاتتكرر أي قيمة لايوجد منوال مثلا (4،3،9،6)    لايوجد منوال
ويمكن ان يكو ن هناك اكثر من منوال مثلا (3،3،3،6،7،7،7) فالمنوال (3،7)
واذا تكررت جميع القيم بنفس التكرارات لايوجد منوال مثلا(3،3،4،4،6،6) لايوجد منوال
اما اذا كانت القيمتين المتكررتين متجاورتين يكون المنوال مجموع القيمتين/2
مثلا (4،10،10،8،8،9) المنوال =10+8/2= 9