الانحراف المتوسط والتباين

ثانيا:الانحراف المتوسط:
يعرف الانحراف المتوسط لمجموعة من الدرجات بانه متوسط الانحرافات المطلقة لتلك الدرجات عن وسطها الحسابي ويقصد بالانحراف المطلق بانه الفرق بين الدرجة والوسط الحسابي بغض النظر عن اتجاه هذا الفرق سواء كان سالبا او موجبا .
وعلى سبيل المثال لوكانت لدينا البيانات المعروضة في الجدول فان الانحرافات المطلقة هي الموضحة في العمود الثالث منه.
الدرجة الدرجة –الوسط الحسابي
X-X
الانحراف المطلق
3 3-10 7
4 4-10 6
6 6-10 4
9 9-10 1
12 12-10 2
16 16-10 6
20 20-10 10
وعندما نريد استخراج الانحرافات المطلقة فهذا يتطلب استخراج قيمة الوسط الحسابي اولا:
أي ان X = 3+4+6+9+12+16+20 = 70 =10
7 7
ثم بعد ذلك نجد الفرق المطلق بين قيم الوسط الحسابي وكل درجة من الدرجات وكما يبدو في الجدول فان الفرق كان (7) في الحالة الاولى وهكذا وتستخرج قيمة الانحراف المتوسط بقسمة حاصل جمع الانحرافات المطلقة على عدد الدرجات وبناء على ذلك فان الانحراف المتوسط في مثالنا هذا يستخرج كما يأتي
36 =5.14 = Md= 7+6+4+9+1+2+10
7 7
ويمكن التعبير عما سبق إحصائيا كما يأتي: |X-X|? = Md
N
حيث تشير العلامة(| |)عن القيمة المطلقة بدون اشارة،ويعتبر الانحراف المتوسط (Md)افضل من المقياس السابق من حيث الدقة واعطاء صورة اوضح للبيانات فباستخدام هذا المقياس يمكن بسهولة التعرف على التشتت للتوزيعات والمقارنة فيما بينها .
ثالثا:التباين:
يعتبر التباين من مقاييس التشتت المهمة التي تعتمد على كل درجة من درجات التوزيع ومدى انحرافها عن الوسط الحسابي فكما لاحظنا بان حساب الانحراف المتوسط يعتمد على حساب القيمة المطلقة لقيم انحرافات الدرجات عن المتوسط اذ لو تؤخذ هذه القيم المطلقة لكان مجموع الانحرافات مساويا للصفر فعندما تكون لدينا مجموعة من الدرجات مثل (6،5،4)فان انحراف كل درجة عن الوسط الحسابي الذي مقداره (5) في هذه الحالة ليس صفرا حيث انحراف الدرجة الاولى (4-5=-1)وانحراف الدرجة الثانية (5-5=0)وانحراف الدرجة الثالثة (6-5=+1)ومن هنا نلاحظ ان انحراف كل درجة عن الوسط الحسابي اما ان يكون موجبا او يكون سالبا او صفراوان مجموع هذه الدرجات يكون صفرا في جميع الحالات ولذلك فقد جمعت هذه الدرجات بغض النظر عن الاشارة لاستخراج الانحراف المتوسط (Md) ان حذف الاشارات عن قيم الانحرافات عملية غير صحيحة ويصعب التعامل معها ولذلك تم التفكير بمقياس اخر يأخذ الدرجة والانحراف كما هو من خلال تربيع القيم عن وسطها الحسابي ومن ثم استخراج قيمة اخرى تسمى بالتباين ( 2?)وهو قسمة مجموع مربعات الانحرافات على عدد الدرجات .
ويمكن استخراج التباين من المعادلة الاتية :
2 = n?X 2 - (?X) 2?
N 2
اما في حالة وجود تكرارات فيمكن استخدام المعادلة التالية لحساب التباين:

2 = n?fX 2 - (?fX) 2?
N 2
حيث ان (f)عدد التكرارات