التباين

ثالثا:التباين:
يعتبر التباين من مقاييس التشتت المهمة التي تعتمد على كل درجة من درجات التوزيع ومدى انحرافها عن الوسط الحسابي فكما لاحظنا بان حساب الانحراف المتوسط يعتمد على حساب القيمة المطلقة لقيم انحرافات الدرجات عن المتوسط اذ لو تؤخذ هذه القيم المطلقة لكان مجموع الانحرافات مساويا للصفر فعندما تكون لدينا مجموعة من الدرجات مثل (6،5،4)فان انحراف كل درجة عن الوسط الحسابي الذي مقداره (5) في هذه الحالة ليس صفرا حيث انحراف الدرجة الاولى (4-5=-1)وانحراف الدرجة الثانية (5-5=0)وانحراف الدرجة الثالثة (6-5=+1)ومن هنا نلاحظ ان انحراف كل درجة عن الوسط الحسابي اما ان يكون موجبا او يكون سالبا او صفراوان مجموع هذه الدرجات يكون صفرا في جميع الحالات ولذلك فقد جمعت هذه الدرجات بغض النظر عن الاشارة لاستخراج الانحراف المتوسط (Md) ان حذف الاشارات عن قيم الانحرافات عملية غير صحيحة ويصعب التعامل معها ولذلك تم التفكير بمقياس اخر يأخذ الدرجة والانحراف كما هو من خلال تربيع القيم عن وسطها الحسابي ومن ثم استخراج قيمة اخرى تسمى بالتباين ( 2?)وهو قسمة مجموع مربعات الانحرافات على عدد الدرجات .
ويمكن استخراج التباين من المعادلة الاتية :
2 = n?X 2 - (?X) 2?
N 2
اما في حالة وجود تكرارات فيمكن استخدام المعادلة التالية لحساب التباين:

2 = n?fX 2 - (?fX) 2?
N 2
حيث ان (f)عدد التكرارات
مثال لاستخراج التباين لمجموعة من الدرجات :
X F X 2 Fx Fx)2)
46 4 2116 184 8464
51 1 2601 51 2601
56 2 3136 112 6272
61 2 3721 122 7442
66 2 4356 132 8712
71 9 5041 639 45369
76 5 5776 380 28880
81 10 6561 810 65610
86 4 7396 344 29574
91 8 8281 728 66248
96 3 9216 288 27648
المجموع 50 3790 296830
حيث يحسب التباين كما يأتي:

2 = n?fX 2 - (?fX) 2?
N 2
190.96= ( 3790)2-( 296830)x (50) =
(20)2
اما اذا اردنا استخراج التباين لبيانات ذات فئات فاننا نقوم باستخراج مراكز الفئات حيث يعتبر مركز الفئة (X)وتتبع نفس الخطوات السابقة وباستخدام نفس المعادلة . ان المعادلات السابقة لاستخراج التباين تباين المجتمع اما اذا اردنا استخراج تباين العينة فهناك تعديل بسيط يجري على مقام هذه المعادلات وكما يأتي :
2 = n?fX 2 - (?fX) 2 S
N 2(n-1)
رابعا:الانحراف المعياري:
يعرف الانحراف المعياري بانه الجذر التربيعي الموجب للتباين ويستخرج بنفس الطرق والمعادلات التي تم استعراضها لاستخراج التباين ثم يؤخذ الجذر التربيعي الموجب للناتج
= n?fX 2 - (?fX) 2?
N 2

أهمية التباين والانحراف المعياري في الإحصاء التربوي:
تتجلى أهمية التباين والانحراف المعياري في أمور عدة من أهمها:
يمكن بواسطتها التعرف على مدى تجانس وتشتت الدرجات في التوزيعات المختلفة والمقارنة فيما بين تلك التوزيعات.
كلما انخفضت قيمة التباين او الانحراف المعياري واقتربت هذه القيمة من الصفر كلما دل ذلك على وجود نوع من التجانس او التقارب بين قيم الدرجات وعندما يكون هذا المقدار صفرا فهذا يعني ان جميع الدرجات متشابهة ومتجانسة ومتطابقة.
للانحراف المعياري والتباين فوائد وخصائص أخرى كثيرة تبدو واضحة في الاحصاء الاستدلالي في اختبار الفرضيات.
معامل الاختلاف او التغير :
ويستعمل لقياس التشتت في البيانات ويعبر عنه بارقام مطلقة وليس بوحدات وذلك بعكس الانحراف المعياري والمقاييس الاخرى للتشتت التي تاخذ ارقامها المحسوبة وحدات البيانات الاصلية نفسها ويتم حسابه من خلال قسمة الانحراف المعياري على الوسط الحسابي وضرب الناتج في مئة وعلى وفق الصيغة الرياضية الاتية :
معامل الاختلاف = (s.d)/m ×100
مثال: اذا علمت ان متوسط اعمار اطفال الرياض يبلغ (60) شهرا وبانحراف معياري مقداره (12) اوجد معامل الانحراف .
معامل الاختلاف = (s.d)/m×100 = 12/60 ×100= 20
وتجدر الاشارة الى ان معامل الاختلاف يمكن استعماله لمقارنة تشتت توزيعين اكثر اذا ما اختلفت وحدات القياس او اختلفت متوسطاتها الحقيقية .
الدرجة المعيارية : وهي تعبر عن مقدار الدرجة الخام عن الوسط الحسابي لدرجات المجموعة بوحدات الانحراف المعياري او انها تعبر عن عدد الانحرافات المعيارية فوق او دون الوسط الحسابي ويتم التعبير عنها رياضيا وفق الصيغة الاتية :
د= س – س-
ع
مثال : اذا علمت ان الوسط الحسابي لدرجات مجموعة من الطلبة ( 60) درجة وبانحراف معياري مقداره (8) ، اوجد الدرجات المعيارية المقابلة للدرجات (80، 60، 40) .
د80= 80 -60÷8 = 3.5
د60= 60 -60÷ 8 = صفر
د40= 40 -60 ÷ 8 = 2.5-
يتبين لنا ان الطالب الذي حصل على الدرجة (80) هو اعلى من المتوسط ب( 5،3) درجة معيارية في حين ان الطالب الذي درجته (60) يقع في الوسط ، اما الطالب الذي درجته (40) فدرجته المعيارية (-2،5) اي انه دون الوسط بدرجتين معياريتين ونصف.
خصائص الدرجة المعيارية :
ان الوسط الحسابي للدرجات المعيارية في اي توزيع يساوي صفر لان المجموع الجبري لانحراف الدرجات عن الوسط الحسابي يساوي صفرا كما ان الانحراف المعياري لهذه الدرجات يكون مقداره (1)
ان الدرجات المعيارية تسمح باجراء المقارنة بين الدرجات الخام في التوزيعات المختلفة .