الوسط المرجح

الوسط المرجح(الموزون):
اذا كان لدينا وسطان حسابيان لمجموعتين متباينتين او اكثر فهل يمكن التعرف على الوسط الحسابي للمجموعة الجديدة المتكونة من دمج المجوعات المختلفة الإعداد ام نحتاج للرجوع إلى البيانات الأصلية لكل مجموعة من المجموعات لكي نستخرج الوسط الحسابي الجديد.يمكننا استخراج الوسط الحسابي الجديد بدون الرجوع الى البيانات الأصلية ولمعرفة كيفية اجراء ذلك لابد لنا من الرجوع الى معادلة الوسط الحسابي .
فلو فرضنا ان المجموعة الاولى ذات الوسط الحسابي (1 X )فان:
NX + ..... + 2 X + 1X = 1 X
N1
وبالمثل اذا كانت المجموعة الثانية ذات وسط حسابي (2X)
NX + ..... + 2 X + 1X = 2 X
N1
اما اذا دمجنا المجموعتين في مجموعة واحد فان الوسط الحسابي الجديد (الموزون) المتكون من اتحاد المجموعتين هو 2X ? N2 + 1X ? N1 =1 X
N1+N2
وبالمثل اذا كان لدينا أكثر من مجموعتين ،أي ان الوسط الحسابي للمجموعة المتكونة من اتحاد اكثر من مجموعة واحدة يساوي خارج قسمة مجموع حاصل ضرب عدد أفراد كل مجموعة في وسطها الحسابي على العدد الكلي لأفراد المجموعات .
وكمثال تطبيقي لو فرضنا ان الوسط الحسابي (X1) لدرجات (20) طالبا في اختبار للتحصيل يساوي (65) وان الوسط الحسابي لدرجات (15) طالبا في شعبة اخرى في نفس الاختبار يساوي ( 70) فان الوسط الحسابي الموزون للمجموعة الجديدة المتكونة من اتحاد المجموعتين هو :
2X ? N2 + 1X ? N1 =1 X
N1+N2
=20 X65 +15 X70 =67.14
20+15
الوسيط:
يعتبر الوسيط مقياس آخر من مقاييس النزعة المركزية في مجال التربية وعلم النفس ويعرف الوسيط بأنه النقطة او الدرجة في مجموعة من الدرجات التي تكون (50%) من الدرجات أعلى منها و(50%) من الدرجات تقع تحتها فلو كانت لدينا مجموعة الدرجات المرتبة ترتيبا تصاعديا (32,29،25،21،18،8،3)فان الرجة (21)هي الوسيط لهذه المجموعة.نلاحظ هنا ان عدد الدرجات في المجموعة فردي .ولكن لو أضفنا درجة أخرى للمجموعة كان تكون الدرجة (37) مثلا لأصبح عدد المفردات في المجموعة زوجيا وهو (8) درجات وفي هذه الحالة يستخرج الوسيط بجمع الدرجتين اللتين تتوسطان مجموعة الدرجات وقسمة هذا المجموع على (2) حيث يصبح الوسيط في هذه الحالة (21+25)÷ 2=23.
من هنا يتضح لنا ان ترتيب الوسيط يختلف تبعا لعدد الدرجات (n) في المجموعة فعندما يكون عدد الدرجات فرديا فان ترتيب الوسيط = (n \2) اما اذا كان عدد الدرجات في المجموعة زوجيا فان ترتيب الوسيط هو متوسط الدرجتين اللتين ترتيبهما (n\2)،(n\2+1).
اما كيفية حساب الوسيط في التوزيعات التكرارية فهي عملية اكثر تعقيدا وصعوبة فلو اردنا استخراج الوسيط للبيانات الموضحة في الجدول التالي الي تمثل الدرجات التي حصل عليها (62) طالبا في احد الاختبارات التربوية .
الدرجة التكرار التكرار المتجمع الصاعد
22 1 1
23 1 2
24 2 4
25 8 12
26 9 21
27 15 36
28 12 48
29 10 58
30 4 62
المجموع 62
ان خطوات استخراج الوسيط هي كما يلي :
حساب ما يسمى بالتكرار المتجمع الصاعد كما هو موضح في العمود الثالث في الجدول ويقصد بالتكرار المتجمع الصاعد لدرجة ما بأنه عدد الذين حصلوا على تلك الدرجة او على درجة اقل منها فمثلا التكرار المتجمع الصاعد للدرجة (22) =1 لأنه لم يحصل على لك الدرجة او على درجة اقل منها سوى طالب واحد اما التكرار المتجمع الصاعد للدرجة (23) فانه يساوي (2) لان هناك طالب واحد قد حصل على تلك الدرجة إضافة لطالب اخر قد حصل على درجة اقل منها وهي (22) وهكذا يكون التكرار المتجمع الصاعد لأية درجة مساويا لتكرار هذه الدرجة مضافا إليه مجموع التكرارات الخاصة بالدرجات الأقل منها وعلى ذلك يكون التكرار المتجمع الصاعد للدرجة الكبرى في مثالنا هذا هي الدرجة (30) هو (62) وهو مساوي للتكرار الكلي للدرجات.
نقسم مجموع التكرار الكلي وهو (62) على (2) وذلك لكي نحصل على ترتيب الوسيط الذي هو في المنتصف ويكون ترتيبه (62/2=31)
نحدد الفئة الوسيطية وهي الفئة التي تقع ضمنها الدرجة التي ترتيبها = ترتيب الوسيط اذ نلاحظ ان ترتيب الوسيط (31) يكون ضمن التكرار التجمع الصاعد والذي يقابل الدرجة (27) والتي يكون حداها الحقيقيان هما (26.5-27.5)
نلاحظ من الجدول ان (15) طالبا قد حصلوا على الدرجة (27) وهؤلاء الطلاب هم الذين ترتيبهم من (22)الى (26) والمطلوب معرفة الدرجة التي يحصل عليها الطالب الذي ترتيبه (31) لذلك نعتبر ان الطلاب الذين حصلوا على الدرجة (27) وعددهم (15) موزعين على الفئة (26.5-27.5) وطول هذه الفئة =درجة واحدة فكل طالب منهم تكون درجته عبارة عن الحد الأدنى لهذه الفئة مضافا اليه جزء من الدرجة حسب موقعه او ترتيبه فالطالب الذي ترتيبه (22) تكون درجته =26.5 مضافا اليها جزء من خمسة عشر جزء من الدرجة وهي طول الفئة أي =(26.5+1/15) والطالب الذي ترتيبه (23) تكون درجته =(26.5+2X1/15) والطالب الذي ترتيبه (24)تكون درجته =(26.5+3X1/15 ) وهكذا وبناء على ذلك فان الطالب الذي ترتيبه (31) تكون درجته =26.5+10X1/15 .وتكون الدرجة الوسيطية =26.5+0.67=27.17
يمكن تلخيص ما تم عرضه من خطوات بالمعادلة التالية :
N –f1
2
الوسيط=A + ـــــــــــــــــــــــــXL
F2
حيث ان A =الحد الأدنى للفئة الوسيطية
N=التكرار الكلي
F1=التكرار المتجمع الصاعد للفئة السابقة للفئة الوسيطية
F2=تكرار الفئة الوسيطية
L= طول الفئة الوسيطية
في ضوء المعادلة السابقة يمكن حساب الوسيط للدرجات الموضحة في الجدول السابق كما يأتي:

62 -21
2
الوسيط = 26.5+ـــــــــــــــــــــــــــــــX1
15
= 27.17
لقد كان طول الفئة في المثال السابق درجة واحدة فقط اما في حالة التوزيعات التكرارية ذات الفئات التي تكون اطوالها اكثر من واحد فان التكرار المتجمع الصاعد المناظر لفئة معينة يمثل عدد الطلاب الذين حصلوا على درجات تقل عن الحد الاعلى الحقيقي لهذه الفئة وتتبع في هذه الحالة نفس الخطوات السابقة لايجاد قيمة الوسيط .