أنظمة الأعداد :
تدعى مجموعة طرق تمثيل الأعداد وكتابتها بـ أنظمة العد وتقوم فكرة أي نظام عد على مبدأين أساسين هما أساس النظام وهو عدد صحيح موجب و عدد رموز أو مفردات هذا النظام ويوجد أمثلة على نظم العد القديمة كنظام العدد الصيني كذلك نظام العد الرومانية .
ويمكن إدراج مفردات نظام العد وكما يلي
الثنائي: {0,1{
الثلاثي: {0,1,2{
الرباعي : {0,1,2,3{
الخماسي : {0,1,2,3,4{
السداسي :{0,1,2,3,4,5{
السباعي :{0,1,2,3,4,5,6{
الثماني : {0,1,2,3,4,5,6,7{
التساعي : {0,1,2,3,4,5,6,7,8{
العشري :{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9{
……….
……….
………..
السادس عشر :{,A,B,C,D,E,F0,1,2,3,4,5,6,7,8,9{
وسوف نأخذ كمثال النظام الثنائي ,العشري , السادس عشر وطرق التحويل بينها
1- نظام العد العشري Decimal System :
هــو مــن أقــدم أنظمــة ا?رقــام شــيوعا ً ً وتعــام?، وســمي بـــ العــشري ?نــه يــستخدم عــشرة رمــوز لكتابة أي عدد صحيح و هي:
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
فكل عدد في هذا النظام ? يستخدم إ? هذه الرموز فقط...
عدد مكونات النظام العشري هو عـشرة أرقـام، حيـث انـه يكبـر بعـد كـل عـشرة أرقـام، كما في المثال التالي:
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
وللنظــام العــشري خاصــية مرتبــة الــرقم فعلــى ســبيل المثــال الــرقم 593 نجــد أن الــرقم ا?ول وهو 3 يقع في مرتبة ا?حاد وتكون قيمته هي (1×3 = 3). أما الـرقم الثـاني وهـو 9 فيقــع فــي المرتبــة الثانيــة وهــي العــشرات فتكــون قيمتــه هــي (10 × 9 = 90) أمــا الــرقم الثالـــث 5 فيقـــع فـــي مرتبـــة المئـــات وقيمتـــه هـــي (5×100 = 500) فـــإذا جمعنـــا خانـــات ا?رقام الث?ثة أصبحت قيمة الرقم 593.
وعليه فيمكننا تمثيل العدد 593 كالتالي:
3 9 5
ا?حاد العشرات المئات
1 10 100
1 * 3 + 10 * 9 + 100 * 5
3 + 90 + 500 = 10( 593)
ويمكن تمثيله أيضا على أساس قوى الأساس 10 وهذه تسمى أوزان خانات العدد كما في المثال التالي :
مثال : مثل العدد العشري 10(1007) بواسطة أوزان خانات العدد ؟
العدد = 7 0 0 1
أوزان خانات العدد = 010 110 210 310
= 7*1 + 0*10 + 0*100+1*1000
=1007
2- نظام العد السادس عشر Hexadecimal System :
عدد الأرقام التي يمكن أن نستخدمها في هذا النظام هي 16 رقم ويكون الأساس لها هو 16
وكما يلي : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
حيث نلاحظ أن النظام السادس عشر يحتوي عل كل الأعداد العشرية بالإضافة إلى الحروف ( FEDCBA) كبديل للأعداد 10 11 12 13 14 15 في النظام العشري
ويمكن لنا ان نستمر بالعد لما بعد الرقم F وكما يلي :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20
?حظ ا?خت?ف بين الــ F و الــ 10 حيـث انـه عنـدما انتهينـا مـن ا?رقـام (أخـر رقـم هو F) رجعنا للرقم 1 وأضفنا صفر بجواره، و لو واصلنا العد لوصلنا إلـى الـ 1F وثم نرجع الرقم 2 و نضيف صفر إلى الرقم 2 فيصبح الـرقم 20 وهكـذا دواليك.
3- نظام العد الثنائي Binary System
يطلق على النظام الثنـائي اسـم نظـام ا?سـاس أثنـين (2) ويـشار إليـه با?سـاس (2) ?نــه يعتمــد علــى رمــزين اثنــين فقــط همــا (0،1) ومراتــب الخانــات فــي النظــام الثنــائي مــن اليمين إلى اليسار تمثل قوى العدد (2) ا?مر ? يختلف كثيرا في نظام العد الثنائي ، إ? أنـنا ? نستخدم إ? الرقمـان 0 , 1 لتحديد قيمة كل خانة.
ويقوم الكمبيوتر بجميع عملياته باستخدام نظام العد الثنائي، ?نه يعطي كل خانة أحــد القيمتين 0 أو 1 وذلــك عــن طريــق التمييــز بــين عمليتــين فيزيــائيتين تحــدثان داخــل الكمبيــوتر همــا توصــيل التيــار ( 1 ) وقطــع التيــار ( 0 )، وفــي ا?قــراص الــصلبة تخزن المعلومـات فـي صـورة مغناطيـسات صـغيرة منتـشرة علـى سـطح مـن مـادة خاصـة ( فيرومغناطيــسية ) وهــي تميــز أيــضا بــين حــالتين فقــط ا?ولــى عنــدما يكــون اتجــاه قطــب المغنــاطيس الــصغير الموجــب إلــى ا?علــى، والحالــة الثانيــة هــي الحالــة المعاكــسة، لهــذا السبب فإن الكمبيوتر ? بد له من استخدام نظام العد الثنائي وكمـــا قلنـــا إن النظـــام العـــشري يعتمـــد علـــى أســـاس عـــشرة أرقـــام، أمـــا الـــرقم الثنـــائي فيعتمد على رقمين فقط و هما صفر وواحد 0 1.
الرقم التالي 101100 في النظام الثنائي ? يلفظ بمائة وعشرة آ?ف ومائـة! بـل يلفـظ
كالتالي: واحد صفر واحد واحد صفر صفر
تمثيل ا?عداد من 0 إلى 15 في النظام الثنائي ، العشري ، السادس عشر ( جدول رقم 1)
النظام العشري النظام السادس عشر النظام الثنائي النظام العشري النظام السادس عشر النظام الثنائي
0 0 0000 8 8 1000
1 1 0001 9 9 1001
2 2 0010 10 A 1010
3 3 0011 11 B 1011
4 4 0100 12 C 1100
5 5 0101 13 D 1101
6 6 0110 14 E 1110
7 7 0111 15 F 1111
التحويلات بين الأنظمة الثلاث ( النظام العشري، النظام السادس عشر، النظام الثنائي)
A- التحويل من النظام العشري إلى النظام الثنائي :
تحويل الأعداد العشرية الصحيحة الموجبة حيث سوف نستعمل طريقة الباقي Reminder Method لعمل ذلك وكما يلي:
1- اقسم العدد العشري على الأساس 2
2- احسب باقي القسمة الذي يكون إما 1 أو 0
3- اقسم ناتج القسمة على الأساس 2 (كما في خطوة 1)
4- احسب باقي القسمة (كما في خطوة 2)
5- استمر في عملية القسمة وتحديد الباقي حتى يصبح خارج القسمة الصحيح صفرا
العدد الثنائي المطلوب يتكون من أرقام الباقي مقروءة من الباقي الأخير إلى الأول .
مثال 1 : حول العدد 12 من النظام العشري إلى النظام الثنائي :
العملية ناتج القسمة الباقي
1- 12 ÷ 2 = 6 0 الخانة الأدنى منزلة
2- 6 ÷ 2 = 3 0
3- 3 ÷ 2 = 1 1
4- 1 ÷ 2 = 0 1 الخانة الأعلى منزلة
إنهاء فيكون الناتج ( من اسفل الى اعلى ومن اليسار الى اليمين )
هو مكافئ للعدد 10(12)(1100 )2 اذن العدد
مثال 2 : حول العدد 10 ( 177 ) إلى ما يقابله من 2 ( ؟ )
1- 177 ÷ 2 = 88 1 الخانة الادنى منزلة
2- 88 ÷ 2 = 44 0
3- 44 ÷ 2 = 22 0
4- 22 ÷ 2 = 11 0
5- 11 ÷ 2 = 5 1
6- 5 ÷ 2 = 2 1
7- 2 ÷ 2 = 1 0
8- 1 ÷ 2 = 0 1 الخانة الاعلى منزلة
فيكون العدد الناتج هو 2(10110001) المكافئ للعدد العشري 10(177)
مثال : حول العدد 10(9001) الى ما يقابله في النظام الثنائي ؟
= 4500 1 (الخانه الادنى منزلة ) 2 ÷ 9001
0 2250 = 2 ÷ 4500
0 1125 = 2 ÷ 2250
1 562 = 2 ÷ 1125
0 281= 2 ÷ 562
1 140 = 2 ÷ 281
0 70 = 2 ÷ 140
0 35 = 2 ÷ 70
1 17 = 2 ÷ 35
1 8 = 2 ÷ 17
0 4 = 2 ÷ 8
0 2 = 2 ÷ 4
0 1 = 2 ÷ 2
الخانه الاعلى منزلة )) 1 0 = 2 ÷ 1
إنهاء
فيكون العدد الثنائي الناتج هو 2(10001100101001) المكافئ للعدد 10(9001)
B- التحويل من النظام الثنائي إلى النظام العشري
يكون التحويل بترتيب العدد الثنائي من المرتبة الأعلى منزلة إلى المرتبة الأدنى منزلة وتضرب كل منزلة بما يكافئها من أوزان أساسها العدد 2 وكما في المثال التالي :
مثال حول العدد 2(10110001) إلى ما يكافئه من عدد في النظام العشري
العدد الثنائي 1 0 0 0 1 1 0 1
أوزان أساس العدد 2 20 21 22 23 24 25 26 27
ضرب العدد الثنائي * الوزن 1*20 + 0*21 + 0*22 + 0*20 + 1*24 + 1*25 + 0 *26 + 1 * 27
الناتج 1 + 0 + 0 + 0 + 16 + 32 + 0 + 128 =
إذن العدد 10(177) هو مكافئ للعدد 2(10110001)
مثال : حول العدد 2(10001100101001) الى ما يكافئه في النظام العشري ؟
العدد الثنائي 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
اساس العدد 2 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212 213
الناتج 1 + 0 + 0+ 8 + 0 + 32 + 0 + 0 + 256 + 512 + 0 + 0 + 0 + 8192
=10( 9001)
C- التحويل من النظام السادس عشر إلى النظام العشري:
يكون التحويل بترتيب العدد السادس عشر من المرتبة الأعلى منزلة إلى المرتبة الأدنى منزلة بحيث يحول كل رقم إلى ما يقابله من رقم في النظام العشري وتضرب كل منزلة بما يكافئها من أوزان أساسها العدد 16 لتكون نتيجة الجمع هو العدد العشري المكافئ للعدد السادس عشر وكما في المثال التالي :
مثال : حول العدد 16(FACE) الى ما يقابله في النظام العشري ؟
العدد السادس عشر F A C E
العدد العشري المقابل له 14 12 10 15
اوزان اساسها العدد 16 160 161 162 163
ضرب العدد العشري المقابل * الاوزان 14 * 160 + 12 * 161 + 10 *162 + 15 * 163
= 14* 1 + 12 *16 + 10 * 256 + 15*4096
= 14 + 192 + 2560 + 61440
= 10( 64206)
إذن العدد 10(64206) يكافئ العدد 16(FACE)
مثال : حول العدد 16(7DB) الى ما يكافئه في النظام العشري ؟
B D 7
11 13 7
160 161 162
11*1 + 13*16 + 7*256
= 10( 2011)
اذن العدد 10(2011) يكافئ العدد16 (7DB)
D- التحويل من النظام العشري الى النظام السادس عشر
يتم استخدام طريقة القسمة على الرقم 16وباقي القسمة كناتج كما مر بنا في طريقة تحويل العدد العشري الى ثنائي ولكن باستخدام العدد 16 بدل 2 للقسمة واخذ باقي القسمة كما في المثال التالي :
مثال : حول العدد10( 650) الى ما يكافئه في النظام السادس عشر ؟
650 ÷ 16 = 40 10 = A ( المرتبة الادنى منزلة )
40 ÷ 16 = 2 8 = 8
2 ÷ 16 = 0 2 = 2 ( المرتبة الاعلى منزلة )
اذن العدد 16 (28A) يكافئ العدد 10(650 )
مثال حول العدد 10(7009) الى ما يكافئه في النظام السادس عشر ؟
7009 ÷ 16=438 1 = 1
438÷ 16= 27 6 = 6
27 ÷ 16 = 1 11 = B
1 ÷ 16 =0 1 = 1
اذن العدد 16(1B61) يكافئ العدد 10(7009) .
E- التحويل من النظام السادس عشر إلى النظام الثنائي
للتحويل من النظام السادس عشر إلى النظام الثنائي نتبع التالي :
1- نستبدل الأرقام بالنظام السادس عشر إلى ما يكافئها بالنظام الثنائي وحسب جدول رقم 1
2- ثم نضع الأرقام الثنائية مع بعضها لنحصل على العدد المطلوب .
مثال : حول العدد 16(D39A) الى ما يكافئه بالنظام الثنائي ؟
D 3 9 A
1010 1001 0011 1101
اذن العدد 2(1101001110011010( يكافئ العدد 16(D39A)
مثال : حول العدد 16(1400) الى ما يكافئه بالنظام الثنائي؟
0 0 4 1
0000 0000 0100 0001
اذن العدد 2(1010000000000) يكافئ العدد 16(1400)
(تم إهمال الاصفار التي في بداية الرقم الثنائي) .
F- التحويل من النظام الثنائي الى النظام السادس عشر
للتحويل من النظام الثنائي إلى النظام السادس عشر نتبع ما يلي :
1- نقسم الرقم الثنائي إلى مجموعات تضم كل مجموعة اربع بتات .
2- إذا كان هناك نقص في المجموعة الاخيرة نعوض بإكمالها بالاصفار في بداية المجموعة .
3- نحول كل مجموعة 4 بتات إلى ما يقابلها في النظام السادس عشر (حسب جدول رقم 1).
4- نضع الأرقام الناتجة مع بعضها لكي ينتج لنا العدد السادس عشر .
مثال : حول العدد الثنائي 2(10100100001) إلى ما يكافئه في النظام السادس عشر ؟
0001 0010 0101 تم اضافة 0 في بداية المجموعة الاخيرة لجعلها تساوي 4 بت 1 2 5
إذن العدد 16(521 ) يكافئ العدد 2(10100100001)
مثال : حول العدد 2(10010001011101) إلى ما يكافئه في النظام السادس عشر ؟
1101 0101 0100 0010 تم اضافة 00 في بداية المجموعة الاخيرة لجعلها تساوي 4 بت
D 5 4 2
إذن العدد 16((245D يكافئ العدد 2(10010001011101)
تمارين أنظمة الأعداد :
1- حول العدد 16(1901C) الى ما يقابله في النظام العشري ؟
2- حول العدد 10(8011) الى ما يقابله في النظام الثنائي ؟
3- حول العدد 2(1010011000110) الى ما يقابله في النظام السادس عشر؟
4- حول العدد 10(300011)الى ما يقابله في النظام السادس عشر ؟
5- حول العدد 2(100100100) الى ما يقابله في النظام العشري ؟
6- حول العدد16(1001) الى ما يقابله في النظام الثنائي ؟
7- حول العدد 10(18007) الى ما يقابله في النظام الثنائي ؟ ثم حول العدد الثنائي الناتج الى ما يقابله في النظام السادس عشر ؟
8- حول العدد 16(CAAF) الى ما يقابله في النظام العشري ؟ ثم حول العدد العشري الى ما يقابله في النظام الثنائي؟
9- حول العدد 2(100111000100) الى ما يقابله في النظام العشري ؟
10- حول العدد 10(120101) الى ما يقابله في السادس عشر ؟
المادة المعروضة اعلاه هي مدخل الى المحاضرة المرفوعة بواسطة استاذ(ة) المادة . وقد تبدو لك غير متكاملة . حيث يضع استاذ المادة في بعض الاحيان فقط الجزء الاول من المحاضرة من اجل الاطلاع على ما ستقوم بتحميله لاحقا . في نظام التعليم الالكتروني نوفر هذه الخدمة لكي نبقيك على اطلاع حول محتوى الملف الذي ستقوم بتحميله .
|