ناقشت رسالة ماجستير في كلية التربية للعلوم الصرفة (ثنائية الظل في الفضاءات الدينمية)، للطالب محمد حسين عبيد، بإشراف الأستاذ الدكتور افتخار مضر طالب. تناولت الدراسة الدوال التي تملك خاصية ثنائية الظل (Bi-Shadowing Property) في الفضاء المتري، وعرض بعض النتائج عن دوال لها خاصية ثنائية الظل في الأنظمة الدينمية الفوضوية.
وقدمت الدراسة بعض التعاريف الجديدة مثل خاصية معدل ثنائية الظل (Average Bi-shadowing Property)، وخاصية مقارب معدل ثنائية الظل (Asymptotic Average Bi-shadowing Property) كحالة تعميمية للخاصية السابقة، إضافة إلى تقديم أمثلة جديدة لتوضيح هذه التعاريف.
واستخدمت الدراسة تلك النتائج والتعاريف لبرهان العديد من النتائج الجديدة، ومناقشة بعض التعاريف والنتائج عن التقارب المنتظم (Uniformly Convergence) لمتتابعات من دوال ذاتية ((Self-maps مستمرة على فضاء متري مرصوص.
مرتضى علي